Vegyes feladatok: VF_000017
(Feladat azonosítója: VF_000017 )
Témakör: *Számelmélet (polinom, oszthatóság)

Bizonyítsuk be, hogy bármilyen egész szám is n

$ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right) $

mindig osztható 24-gyel.

a) Ha $n$ 3-mal osztható, akkor nyilvánvaló,hogy szorzatunk is osztható 3-mal. Ha $n$ 3-mal nem osztható, akkor 5$n$ sem osztható 3-mal, és így $ 5n-1$ és $ 5n+1$ közül az egyik feltétlenül osztható 3-mal.

b) Ha $n$ páros, akkor $n$ és $n+2$, ha pedig $n $páratlan, akkor $ 5n-1$ és $ 5n+1$ két egymásután következő páros szám. Két egymásután következő páros szám közül az egyik mindig osztható 4-gyel és így szorzatuk mindig osztható $ 2\cdot 4=8$-cal.

Mind a), mind b) alatt az összes lehetséges eseteket kimerítettük és így bebizonyítottuk, hogy szorzatunk $n$ minden egész számú értéke mellett osztható 3-mal is és 8-cal is, mivel pedig e két számnak nincs közös osztója, tehát a szorzatukkal: $ 3\cdot 8=24$-gyel is.

2. Megoldás

Teljes indukció is célra vezet.

$n=1-$re $ 1\cdot \left( {1+2} \right)\left( {5-1} \right)\left( {5+1} \right)=3\cdot 24$ osztható 24-gyel.

Tegyük fel, hogy valamilyen $n=k$ értékre már igazoltuk az állítás helyességét, azaz

$ k\left( {k+2} \right)\left( {5k-1} \right)\left( {5k+1} \right)=25k^4+50k^3-k^2-2k=24A, $

ahol $A$ valamilyen egész szám. $k$ helyébe $\left( {k+1} \right)$-et téve:

$ \left( {k+1} \right)\left( {k+3} \right)\left( {5k+4} \right)\left( {5k+6} \right)=25k^4+150k^3+299k^2+246k+72= $

$ =100k^3+300k^2+248k+72+25k^4+50k^3-k^2-2k= $

$ =24\left( {4k^3+12k^2+10k+3} \right)+4k^3+12k^28k+24A= $

$ =24B+4k\left( {k^2+3k+2} \right)+24A= $

$ =24\left( {A+B} \right)+4k\left( {k+1} \right)\left( {k+2} \right) $

Mivel $k\left( {k+1} \right)\left( {k+2} \right)$, mint 3 egymásra következő szám szorzata osztható $ 2\cdot 3=6$-tal, azért a nyert kéttagú összegünk második tagja is osztható $ 4\cdot 6=24$-gyel. Tehát ha tételünk $n=k$-ra igaz, akkor $n=\left( {k+1} \right)$-re is igaz, de $n=1$-re igaz és így minden $n$ egész számra fennáll.

3. Megoldás

$ n\left( {n+2} \right)\left( {5n-1} \right)\left( {5n+1} \right)= $

$ =n\left( {n+2} \right)\left( {25n^2-1} \right)= $

$ =n\left( {n+2} \right)\left[ {24n^2+\left( {n^2-1} \right)} \right]= $

$ =24n^3\left( {n+2} \right)+\left( {n-1} \right)n\left( {n-1} \right)\left( {n+2} \right) $

Az első tag nyilván osztható 24-gyel, a második tag pedig 4 egymásra következő szám szorzata. Ezek közt van mindig 3-mal osztható és van két egymásutáni páros tényező, melyek közül valamelyik így 4-gyel is osztható. Szorzatunk tehát osztható $ 3\cdot 2\cdot 4=24$-gyel.