Vegyes feladatok: VF_000026
(Feladat azonosítója: VF_000026 )
Témakör: *Algebra (egyenletrendszer)

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$ \left( {x+y} \right)\left( {x^2+y^2} \right)=a $

$ \left( {x-y} \right)\left( {x^2-y^2} \right)=b $

A baloldalakat polinommá alakítva

$ x^3+x^2y+xy^2+y^3=a, $

$ x^3-x^2y-xy^2+y^3=b $

egyenletekhez jutunk. Miután mind a két egyenlet harmadfokú és az egyik sem látszik alacsonyabb fokúra redukálhatónak, az egyenletrendszer megoldásánál majd köbgyökvonást kell végeznünk. Arra törekszünk tehát, hogy a változók lehető egyszerű kifejezésének teljes köbét állítsuk elő. Összeadva -et és -t, továbbá osztva kettővel

$ x^3+y^3=\frac{a+b}{2}. $

A baloldalt $ 3x^2y+3xy^2$ egészítené ki $\left( {x+y} \right)$ köbére. Vegyük észre, ha -ből kivonjuk -t, éppen ilyen alakú kifejezéshez jutunk:

$ 3x^2+3cy^2=a-b. $

Minkét oldalt $\frac{3}{2}$-vel szorozva nyerjük

$ 3x^2y+3xy^2=\frac{3\left( {a-b} \right)}{2} $

és összege

$ x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left( {x+y} \right)^3=\frac{a+b+3a-3b}{2}=2a-b. $

Köbgyököt vonva

$ x+y=\sqrt[3]{2a-b}. $

Másrészt -et így alakíthatjuk át:

$ xy\left( {x+y} \right)=\frac{a-b}{2}, $

melybe $x+y$ alatt nyert értékét behelyettesítve,

$ xy=\frac{a-b}{2\sqrt[3]{2a-b}}. $

Eszerint $x$ és $y$ a következő másodfokú egyenlet gyökei

$ z^2-\sqrt[3]{2a-b}\cdot z+\frac{a-b}{2\sqrt[3]{2a-b}}=0. $

Megoldva az egyenletet:

$ z_1 =x_1 =y_2 =\frac{\sqrt[3]{2a-b}+\sqrt {\sqrt[3]{\left( {2a-b} \right)^2-\frac{2\left( {a+b} \right)}{\sqrt[3]{2a-b}}}} }{2}, $

$ z_2 =x_2 =y_1 =\frac{\sqrt[3]{2a-b}-\sqrt {\sqrt[3]{\left( {2a-b} \right)^2-\frac{\left( {2a-b} \right)}{\sqrt[3]{2a-b}}}} }{2}. $

2. Megoldás

Vezessünk be új változókat. Legyen$x+y=u$, és $xy=v$. Az új változók behelyettesítése céljából átalakítjuk egyenleteinket

$ \begin{array}{c} \left( {x+y} \right)\left( {x^2+y^2} \right)=\left( {x+y} \right)\left[ {\left( {x+y} \right)^2-2xy} \right]=a \\ \left( {x-y} \right)\left( {x^2-y^2} \right)=\left( {x-y} \right)^2\left( {x+y} \right)=\left[ {\left( {x+y} \right)^2-4xy} \right]\left( {x+y} \right)=b. \\ \end{array} $

Elvégezve a behelyettesítést

$ u\left( {u^2-2v} \right)=u^3-2uv=a, $

$ \left( {u^2-4v} \right)u=u^3-4uv=b. $

Vonjuk ki kétszereséből -et

$ u^3=2a-b; \quad u=\sqrt[3]{2a-b}=x+y $

-ből kifejezzük $v$-t $u$-val, majd behelyettesítjük $u$-nak -ból nyert értékét

$ v=\frac{u^3-a}{2u}=\frac{a-b}{2\sqrt[3]{2a-b}}=xy. $

Minthogy és megegyezik az 1. megoldás (5) és (6) egyenletével az 1. megoldás szerint számolhatunk tovább. Megjegyzés: Mindkét adott függvény az $x$ és $y$ szimmetrikus kifejezése, amin azt értjük, hogy $x$ és $y$ felcserélésével változatlan marad. Az $u=x+y$ és $v=xy$ kifejezéseket a két változó elemi szimmetrikus kifejezéseinek nevezzük. Bebizonyítható, hogy bármely szimmetrikus kifejezés pusztán a négy alapművelet segítségével kifejezhető az elemi szimmetrikus kifejezésekkel, mégpedig egyértelműen. A 2. megoldásban ezt tettük.