Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
 
Küszöböljük ki (1) segítségével (2)-ből $z$-t. Rendezve és 2-vel osztva $x^{2}$ + xy + y$^{2}$ - 12 $x$ - 12 $y =$ 43. $x^{2}$-tel szorozva, és a (3) egyenletet felhasználva az $x^{4}$ - 12 $x^{3}$ - 58 $x^{2}$ + 180 $x$ + 225 = 0 (4) egyenlethez jutunk. Ennek az első két tagja megegyezik az $x^{2}$ - 6$x$ kifejezés négyzetének első két tagjával, utolsó két tagja pedig a 6$x$ + 15 (vagy -6$x$ - 15) négyzetének utolsó két tagjával. Mind a négy tag előfordul tehát az $x^{2}$ - 6$x$ - 15 polinom négyzetében. Az egyenlet bal oldala tehát így alakítható át:
$x$-re tehát 4 értéket kapunk: az $x^{2}$ - 14 $x$ - 15 = 0 és az $x^{2}$ + 2$x$ - 15 = 0 egyenletek gyökeit: $x$ = 15, -1; 3, -5. Minden $x$-hez $y$-t a (3) és $z$-t az (1) egyenletből egyértelműen meghatározhatjuk. A lehetséges megoldások
I. | II. | III. | IV. | |
X | 15 | -1 | 3 | -5 |
y | -1 | 15 | -5 | 3 |
z | -2 | -2 | 14 | 14 |
Ezek könnyen láthatólag (2)-t kielégítik.
Megjegyzés: Próbálgatással hamar rátalálunk a (4) egyenletnek a -1 gyökére. Másrészt x és y szimmetrikus szerepe miatt ugyanennek az egyenletnek tesznek eleget y gyökei is. Kell tehát, hogy a -1 -hez (3)-ból adódó y = 15 érték is gyöke legyen az egyenletnek, ami így is van. Ennek alapján is eljuthatunk az egyenletnek a fenti megoldásban használt felbontásához.
2. Megoldás
Az (1) egyenlet négyzetéből levonva a (2)-t, és (3) kétszeresét, majd 2-vel osztva az
egyenlethez jutunk. A $z$ és $x + y=u$ ismeretlenekre tehát az
egyenletek állnak fenn. Így $z$ és $u$ a $v^{2}$ - 12 $v$ - 28 = 0 egyenlet két gyöke, bármilyen sorrendben. Mivel $v_{1}$ = 14 és $v_{2}$ = -2, azért $x$ és $y$ az $x + y = $ 14, xy = -15 vagy $x + y =$ -2, xy = 15 egyenletrendszerek tesznek eleget. Ezek a fentebb már szerepelt $t^{2}$ - 14 $t$ - 15 = 0, ill. $t^{2}$ + 2$t$ - 15 = 0 egyenletekre vezetnek (ott $t$ helyett $x$-szel jelöltük az ismeretlent), s így az előbbi megoldásban talált gyökökhöz jutunk. Ezek kielégítik az (1), (3), (5) egyenleteket. Mivel azonban ezekből (2) következik [ha (1) négyzetéből levonjuk (3) és (5) kétszeresét], azért kielégítik az eredetileg adott egyenletrendszert is.