Legyen $f(x)=-{\displaystyle \frac{4x^3}{a}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{a}}+{\displaystyle \frac{2x}{a}}-a$, ahol $a$ pozitív valós szám és $x\in \mathbb{R}$.

a) Igazolja, hogy $\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx==-a^3+a$.

b) Mely pozitív valós $a$ számokra teljesül, hogy $\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx\ge 0$

c) Az $x$ mely pozitív valós értéke esetén lesz a $g(x)=-x^3+x$ függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Megoldás:

a) Igaz az állítás

b) $0<a\le 1$

c) Lokális maximum: $x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$