Legyen $ f(x)=-\dfrac{4x^3} a+\dfrac{3x^2} a+\dfrac{2x} a-a$, ahol $ a $ pozitív valós szám és $ x \in \mathbb{R} $.

a) Igazolja, hogy $ \int\limits_{0}^{a} f(x)\ dx= = - a^3 + a $.

b) Mely pozitív valós $ a $ számokra teljesül, hogy $ \int\limits_{0}^{a} f(x)\ dx\ge0$

c) Az $ x $ mely pozitív valós értéke esetén lesz a $ g(x) = -x^3 + x $ függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Megoldás:

a) Igaz az állítás

b) $ 0 < a \le 1 $

c) Lokális maximum: $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $