Vegyes feladatok: VF_000004
(Feladat azonosítója: VF_000004 )
Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség, tört)

Az $x$ változó, mely értékeire teljesül az

$ \frac{x-1}{x-2}<\frac{x+3}{x} $

egyenlőtlenség?



 

Egyszerűbb alakra hozzuk az egyenlőtlenséget. Elegendő az 1-gyel kisebbített

$ \frac{1}{x-2}<\frac{3}{x} $

egyenlőtlenséget igazolnunk, mert ehhez 1-et adva visszanyerjük az eredetit. Ábrázoljuk a két oldalon lévő függvényt grafikusan. A baloldalinak 2-nél, a jobboldalinak 0-nál szakadása van. E helyeken kívül csak ott válhatik az egyik a másiknál kisebből nagyobbá, ahol közben egyenlők lesznek. Mivel ez csak $x=3$-nál következik be, az ábra mutatja, hogy közt és 3-nál nagyobb $x$-ekre teljesül.

 

2. Megoldás

A (2) egyenlőtlenségről azonnal látjuk, hogy teljesül, ha $ 0<x<2$, mert ekkor a baloldal negatív, a jobb viszont pozitív. Ha $x$ negatív, vagy 2-nél nagyobb, akkor a két oldal egyező előjelű s így reciprokaik között az ellentétes egyenlőtlenségnek kell fennállnia:

$ x-2>\frac{x}{3},\quad \quad 3x-6>x,\quad \quad x>3. $

A feltételnek tehát a 0 és 2 közti és a 3-nál nagyobb számok tesznek eleget, s így az (1) egyenlőtlenségnek is.

 

3. Megoldás

Áttekinthetőbbé válik a feladat, ha úgy alakítjuk, hogy egy függvényről azt kelljen eldönteni, mely $x$ értékekre pozitív az értéke. A baloldalt levonva az egyenlőtlenségből

$ 0<\frac{x+3}{x}-\frac{x-1}{x-2}=\frac{2\left( {x-3} \right)}{x\left( {x-2} \right)}, $

Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező egyező előjelű, tehát a) ha $x-3>0$ és $x-2>0$. Utóbbi mindig teljesül, ha az előbbi teljesül, tehát minden 3-nál nagyobb szám megfelel a feltételnek. b) ha $s-3<0$ és $x\left( {x-2} \right)<0$, azaz a második egyenlőtlenségben szereplő két tényező ellenkező előjelű. Kell tehát, hogy $x$ nulla és kettő között legyen, s az ilyen $x$-ek az első egyenlőtlenséget is kielégítik. A feltételnek tehát a $ 0>x>2$ és $x>3$ feltételeket kielégítő számok felelnek meg.