1. találat: Kavics Kupa 2008 1. feladat Témakör: *Kombinatorika (geometria) (Azonosító: kk_2018_01f ) Hány olyan háromszög van, melynek oldalai egész hosszúságúak, és a leghosszabb oldala 11 egység hosszú? (Csak a nem elfajuló háromszögeket számoljuk, melyeknek nincs $ 0^{\circ}$ -os szöge.) Témakör: *Számelmélet (Azonosító: kk_2018_02f ) Halhatatlan kapitánynak három halhatatlan unokája van, akiknek életkora három különböző prímszám és ezek négyzetének összege is prímszám. Hány éves a kapitány legkisebb unokája? (Ne feledjük, hogy az unokák halhatatlanok, így életkoruk nagyon nagy szám is lehet!) Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_03f ) Legyen $f(x) = \left|1-2x\right|$ a $\left[0,1 \right]$ intervallumon értelmezett függvény. Hány megoldása van az $f(f(f(x)))=\dfrac{x}{2}$ egyenletnek? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_04f ) A $P$ pont az $ABCD$ négyzet síkjának egy olyan pontja, melyre teljesül, hogy a \linebreak $PAB, PBC, PCD, PDA$ háromszögek mindegyike egyenlő szárú háromszög. Hány ilyen $P$ pont van? (Nem számoljuk az elfajuló háromszögeket, melyeknek van $ 0^{\circ}$ -os szöge.) Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_05f ) Tekintsük a $ 2x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} +x_{8} + x_{9} + x_{10} = 3$ egyenletet. Hány nemnegatív egészekből álló megoldása van? Ha a kapott szám $n$ , a válasz $n+14$ . Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_06f ) Az ábrán látható áramköri részletben minden kapcsoló egymástól függetlenül $\dfrac{1}{2}$ - $\dfrac{1}{2}$ valószínűséggel van nyitva vagy zárva. Mi a valószínűsége annak, hogy $A$ -tól $B$-ig eljut az áram?
Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_07f ) Határozzuk meg azt a két legkisebb pozitív egészet, amelynek 13-szorosát 7-es számrendszerben felírva az utolsó előtti számjegy 4, az utolsó számjegy pedig 3. Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2018_08f ) Legyen $ABCD$ tetszőleges négyszög, és legyenek $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ rendre a $BCD,ACD, ABD,$ illetve $ABC$ háromszögek súlypontjai. Határozzuk meg az $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ négyszög és az $ABCD$ négyszög területének arányát. Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_09f ) Legyen bármely két $x$ és $y$ valós számra $x \sim y = ax +by +cxy$ , ahol $a, b, c$ konstansok. Tudjuk, hogy $ 1\sim2 = 3$ és $ 2 \sim 3 = 4$ és létezik egy olyan $d$ nem nulla, valós szám, hogy $x\sim d = x$ minden valós $x$ esetén teljesül. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_10f ) Tizenhat város mindegyike nevezett egy $A$ és egy $B$ csapatot egy focibajnokságba. A bajnokság során egy tetszőleges csapatnak a saját városa másik csapata kivételével mindegyik csapattal meg kell küzdenie. Valamikor a verseny során az egyik város $A$ csapata észrevette, hogy mindegyik másik csapat különböző számú mérkőzést játszott. Hány mérkőzést játszott ennek a városnak a $B$ csapata? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_11f ) Az $ABC$ háromszög $A$ -nál, $B$ -nél, $C$ -nél levő szögeit jelölje rendre $\alpha, \beta, \gamma$ . Ha $\sin \alpha= 3/5$ és $\cos \beta = 5/13$ , akkor mennyi $\cos \gamma$ értéke? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_12f ) Az $ 1, 4, 8, 10, 16, 8, 21, 25, 30, 43$ számsorozatnak hány olyan egymást követő tagokból álló részsorozata van, amelyben a tagok összege osztható $ 11$ -gyel? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_13f ) Hány különböző megoldása van a $\cos \dfrac{x}{4} = \cos x$ egyenletnek a $(0;24\pi)$ intervallumon? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_14f ) Egy szabályos oktaéder minden éle $ 3$ egység hosszú. Mindegyik csúcsánál vágjunk le egy-egy szabályos, egység oldalú négyzet alapú gúlát. A kapott poliédernek $k$ éle van, ezeket megszámozzuk az 1, 2, ..., $k$ számokkal. Határozd meg, hány olyan $(i;j)$ számpár van $(1 \leq i< j \leq k)$ , hogy a poliéder $i.$ és $j.$ élei kitérő egyenesek. Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_15f ) Egy ország a szigetvilágban $N$ szigetet tartalmaz, legyenek ezek $A_1, A_2, \ldots, A_N$ . A Közlekedési Hatóság hidak építését tervezi, hogy autóval el lehessen jutni bármely szigetről bármely másikra néhány hídon át. Technikai okok miatt hidat csak $A_i$ -ből $A_{i+1}$ -be lehet építeni $(i = 1,2 \ldots, N-1)$ vagy $A_i$ -ből $A_N$ -be, ha $i < N$ . A hidak építésére terveket készítenek. Nevezzünk egy tervet jónak, ha az eddigi követelmények teljesülnek, de bármely hidat kihagyva már nem. Legyen a jó tervek száma $a_N$ . Például $a_1=1$ (az egyetlen jó terv, ha nincs is híd), és $a_2=1$ (van egy híd a két sziget között). Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_16f ) Egy sorban $ 8$ ember ül, összesen $ 4$ országból érkeztek, mindegyik országból pontosan ketten. Hány olyan permutációja létezik a $ 8$ embernek, melyre teljesül, hogy bármely két szomszédos ember különböző országból érkezett? Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_17f ) Legyen $A=\{1,2,3,4,5\}$ és $B=\{1,2,3\}$ . Az $f$ egy jó függvény, ha az értelmezési tartománya $A$ , értékkészlete pedig részhalmaza $A$ -nak. Hány olyan jó $f$ függvény van, amire teljesül az is, hogy az $f(f(x))$ értékkészlete pont a $B$ halmaz? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: kk_2018_18f ) Hányféleképpen lehet egy $ 3 \times 10$ -es téglalapot $ 2 \times 1$ -es dominókkal kirakni? Témakör: *Geometria (Azonosító: kk_2018_19f ) Egy hexa-bitetraéder és egy szabályos oktaéder lapjai egybevágó szabályos háromszögek. A két poliéder beírt gömbje sugarának hányadosa legyen $m/n$ , ahol $(m,n)=1$ . (A hexa-bitetraéder hat darab szabályos háromszöglappal rendelkezik, mintha két tetraédert egy lapjuk mentén összeragasztanánk.) Témakör: *Algebra (Azonosító: kk_2018_20f ) $f(x)=\dfrac {4^x}{4^x+2}, \quad n=\sum_\limits{i=1}^{2018} f\left( \dfrac {i}{2019} \right ).$
|
|||||
|