Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
a) Adott a síkon két pont: A és B. Sejtsük meg mi azon pontok mértani helye, amelyekre PA/BP=2. Fogalmazzunk meg állítást és bizonyítsuk be!
b) Fogalmazzunk meg analóg állítást, készítsünk bizonyítást a PA/BP=λ általános esetre is (λ >0 tetszőleges szám)!
A lehetséges bizonyítások közül kettő viszonylag gyakori.
I. megközelítés
Ez a mértani helynek az AB egyenesre eső pontjainak megkeresésével indul és feltételezi a szögfelező-tétel és annak a külső szögfelezőre vonatkozó változatának ismeretét.
II. megközelítés
Koordinátageometria segítségével. Ha képesek vagyunk két pont távolságának felírására, ha a pontok csak koordinátáikkal adottak,
és felismerjük a kör egyenletét, akkor esélyünk van így megoldani a feladatot.
a) Az AB egyenesen pontosan két megfelelő pont van. Egyrészt az AB szakasz B felőli H harmadolópontja, másrészt az A pont B-re vonatkozó G tükörképe. Ezekre tehát
Ha a P pont nem illeszkedik az AB egyenesre, akkor létrejön a valódi APB háromszög. Erre alkalmazhatjuk a szögfelező-tételt és a külső szögfelező-tételt. Ezek szerint az APB háromszög P csúcsból induló belső, illetve külső szögfelezője olyan H′ illetve G′ pontban metszi az AB oldalt, illetve az AB egyenest, amelyre
Mivel a két szögfelező egymással derékszöget zár be P-ben, így Thalesz tételének megfordítása szerint P illeszkedik az HG szakasz Thalesz körére.
 |
|
apk00104_01meg_a. ábra.
|
Meglepően nehéz igazolni, hogy az említett Thalesz kör minden pontja hozzá tartozik a mértani helyhez. A szögfelező tételek értelmében tehát azt kell megmutatni, hogy ha P a HG Thalesz körének H-tól G-től különböző pontja, akkor az APB háromszög P-hez tartozó szögfelezői átmennek H-n, illetve G-n.
Okoskodjunk indirekten! Tegyük fel, hogy APB háromszög P-hez tartozó szögfelezői olyan H′, G′ pontokban metszik az AB oldalegyenest, amelyek legalább egyike nem egyezik meg a remélt H, illetve G ponttal.
A Thalesz-tétel miatt a HP, PG egyenesek merőlegesek egymásra. Ugyanakkor HP′ és PG′ is merőleges egymásra, hiszen szögfelezők. Így vagy H′ és G′ is A-felé van H-tól, illetve G-től, vagy mindkettő A-val ellenkező irányban van H-tól, illetve G-től.
Vizsgáljuk az H′A/BH′ és az G′A/BG′ arány értékét, ha H′-t H-ból, illetve G′-t G-ből mozgatjuk. A két arány értéke H′=H, illetve G′=G esetén 2, így választottuk meg a H, G pontokat. Ha H′ a H-tól A-felé mozog, akkor az arány értéke csökken, míg H′ el nem éri A-t, ezzel szemben miközben G′ a G-től A-felé mozog B-ig, akkor az arány értéke folyamatosan nő, így a kettő nem válik újra egyenlővé. Ha viszont H′ és G′ a H-tól illetve a G-től az A-val ellenkező irányban mozog, akkor az első arány értéke nő, a másodiké csökken, így ezek sem lesznek újra egyenlők.
Tehát ha P a HG Thalesz körén van, akkor nem lehetséges, hogy az APB háromszög P-hez tartozó szögfelezői nem H-n, illetve G-n mennek át. Mivel ezek a szögfelezők léteznek, így kénytelenek H-n, illetve G-n átmenni, ami igazolja az állítást, a Thalesz kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez.
b) Vizsgáljuk meg először hogyan változik a PA/BP arány értéke, ha P az AB egyenesen fut (lásd az apk00103 feladatot)! Ezzel kapcsolatban fontos egyszerű állítás fogalmazható meg.
Tekintsük a B pontot egy számegyenes origójának, míg A helyezkedjen el a c pozitív számnál (c az AB szakasz hosszával egyenlő). A PA/BP tört helyett vizsgáljuk az azzal lényegében megegyező
Az 1/x függvényt jól ismerjük. A 0 értéket nem veszi fel, egyébként minden értéket pontosan egyszer vesz fel. Ugyanez igaz a c/x függvényre (c ≠ 0), sőt f(x)-re is, azzal a módosítással, hogy f csak a -1 értéket nem veszi fel. Ebből következően |f(x)|=PA/BP minden 0-tól és 1-től különböző értéket pontosan kétszer vesz fel, a 0-t és az 1-et pedig egyszer-egyszer (c-ben, azaz A-ban illetve az AB szakasz FAB felezőpontjában.
Az AB szakaszon x értéke 0-tól c-ig nő, így f(x) értéke "∞-től" 0-ig csökken, azaz itt minden nemnegatív értéket pontosan egyszer vesz fel. Ezzel a Segédtételt igazoltuk.
A Segédtételből kiindulva az a) feladatrészben leírtakkal analóg módon igazolható, hogy λ>0, λ ≠ 0 esetén a keresett mértani hely a keresett mértani hely az HλGλ szakasz Thalesz köre. λ = 1 esetén a mértani hely az AB szakasz felezőmerőlegese, míg λ = 0 esetén az A pont. Végül a B pont a λ = ∞ "értékhez" tartozik.
a) Úgy tűnik, hogy a keresett mértani hely egy kör, melynek középpontja az AB egyenesen van.
Vegyünk fel egy koordináta-rendszert úgy, hogy x-tengelye az AB egyenes legyen!
Az A pont koordinátái: (a; 0),
a B pont koordinátái: (b; 0),
A P pont koordinátái: (x; y).
Ismeretes (Pithagoras-tétel), hogy a Descartes-féle koordináta-rendszerben az
Ennek alapján
PB2 = (x - b)2 + y2.
A zárójelek felbontása, rendezés és összevonás után kapjuk, hogy
Világos, hogy az O középpont az x-tengelyen van. A kör két x-tengelyre eső pontja H((2· b + a)/3; 0), G((2· b - a)/3; 0). A mértani hely a GH szakasz Thales köre.
b) A sejtés és a megoldási módszer is megegyezik az a) feladatrész megoldásában leírtakkal. A PA =λ· PB feltétel (λ &ge 0) pontosan akkor teljesül, ha fennáll a PA2=4· PB2 összefüggés fennál. Koordinátákban:
Ebből
Ha λ2 ≠ 1, azaz λ ≠ 1, akkor leoszthatunk (λ2 - 1)-gyel. Ezután jön a teljes négyzetté alakítás:
A kapott egyenlet mutatja, hogy a mértani hely egy olyan kör, amelynek középpontja az x-tengelyen, azaz az AB egyenesen van. A mértani hely erre az egyenesre eső két pontja