Az, hogy a PE egyenesre P-ben emelt merőleges átmegy az E-vel átellenes F ponton Thalész-tételének egyszerű következménye. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a PF valóban érinti a cikloist a P pontban. A P pontra egyszerre két, egyenlő nagyságú sebességvektor fejti ki a hatását. Az egyik vektor , amely párhuzamos az e félegyenessel, a másik vektor pedig , amely merőleges a kör OP sugarára, és  (ciklois004b_01meg_a. ábra). Ez utóbbi egyenlőség éppen azt fejezi ki, hogy a kör csúszásmentesen gördül az e egyenesen. A P pontbeli érintő párhuzamos a két vektor eredőjével. Tegyük fel, hogy , mely a ciklois004b_01meg_a. ábrán tompaszög, de természetesen a számolások a többi esetben is hasonlóan elvégezhetők. Ekkor , és így . Mivel a PXZY négyszög rombusz, ezért a PZ átló megfelezi a rombusz P csúcsánál lévő szöget, így , amiből következik, hogy . Jelöljük F-fel a PZ egyenes, valamint a gördülő kör aktuális helyzetének metszéspontját. Mivel a POF háromszög egyenlőszárú, ezért nyilvánvaló, hogy , amiből adódik, hogy , amit úgy is értelmezhetünk, hogy az F pont épp a kör E-vel átellenes pontja. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a ciklois egy pontjának érintője valóban átmegy a generáló körnek E-vel átellenes pontján.

ciklois004b_01meg_a. ábra