Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
 |
mdg00102_01meg.a. ábra
|
Vegyük sorra a feltételeket!
1. A k kör T-ben érinti a d kört, így a k kör PT sugáregyenese a d körben is egy sugár egyenese. P tehát illeszkedik az OT=t egyenesre, ahol O a megadott d kör középpontja (mdg00102fel_01meg.b. ábra).
2. A k kör a T és az F ponton is átmegy, azaz P egyforma messze van e két ponttól. P tehát illeszkedik az FT szakasz f felezőmerőlegesére (mdg00102fel_01meg.c. ábra).
3. A P pont az f, t egyenesek metszéspontja. A P középponttú PT sugarú k kör T-ben érinti d-t és F-en is átmegy (mdg00102fel_01meg.d. ábra).
 |
 |
 |
|
mdg00102_01meg.b. ábra
|
mdg00102_01meg.c. ábra
|
mdg00102_01meg.d. ábra
|
Diszkusszió 1. Az f, t egyenesek pontosan akkor párhuzamosak, ha
F illeszkedik a d kör T-beli d' érintőegyenesére, de nem
egyezik meg T-vel.
Ebben az esetben nem jön létre a P metszéspont, nincs megoldás.
Minden más esetben (F nem illeszkedik d-re!) pontosan egy megoldás van.
Diszkusszió 2. A fent szerkesztett kör az egyetlen megoldás, hiszen a gondolatmenetből kiderül, hogy a P középpontnak illeszkednie kell f-re és t-re is.
A k körre három feltételünk van:
1. Érinti d-t;
2. Átmegy T-n;
3. Átmegy F-en.
a) Ha csak az 1. és 2. feltételt vesszük figyelembe, akkor végtelen sok megoldás lesz. A szóbajövő körök középpontjainak mértani helye a t egyenes, maguk a körök érintkező körsort (parabolikus körsort) alkotnak.
b) Ha csak a 2. és 3. feltételt vesszük figyelembe, akkor is végtelen sok megoldás lesz. A szóbajövő körök középpontjainak mértani helye az FT szakasz felezőmerőlegese, maguk a körök metsző körsort (hiperbolikus körsort) alkotnak.
c) Ha csak az 1. és 3. feltételt vesszük figyelembe, akkor eljutunk az mdg00201, mdg00201b feladatokhoz.
1. Először felejtsük el, hogy a keresett k körnek át kell mennie az F ponton! A többi feltételt kielégítő k1 kört könnyen szerkeszthetünk, középpontja az OT=t egyenesen bárhol lehet (mdg00102_02meg.a. ábra).
2. A kapott k1 kört hogyan kell módosítani, hogy továbbra is érintse a d kört a T pontban, de még átmenjen F-en is? Alkalmazzunk megfelelő arányú T centrumú középpontos nagyítást!
3. Ennél a nagyításnál a k1 kör azon F1 pontja kerül majd F-be, amely a TF egyenesre illeszkedik (mdg00102_02meg.b. ábra).
4. A nagyításnál F1 képe F lesz, a k1 kör P1 középpontjának képe a keresett k kör P középpontja lesz, az F1P1 szakasz képe tehát FP. Húzzunk tehát párhuzamost F-en át az F1P1 egyenessel, az így kapott egyenes t-ből kimetszi P-t (mdg00102_02meg.c. ábra).
 |
 |
 |
|
mdg00102_02meg.a. ábra
|
mdg00102_02meg.b. ábra
|
mdg00102_02meg.c. ábra
|
Diszkusszió 1. A keresett k kör biztosan előáll a k1 kör képeként, mert bármely, a d kört T-ben érintő kör megkapható a k1 körből T centrumú középpontos hasonlósággal.
Diszkusszió 2. Az FT egyenesnek k1-gyel (T-n kívül) csak akkor nincs metszéspontja, ha FT érinti k1-et, azaz F illeszkedik a k kör T-beli d' érintőjére. Minden más esetben egyértelmű az F1 pont és a k kör is.
Egy kör pontosan akkor érinti a d kört T-ben, ha a d kör T-beli d' érintőegyenesét érinti T-ben. A feladatunk innen megegyezik az mdg00101 feladattal: szerkesztendő kör, amely T-ben érinti a d' egyenest és átmegy az F ponton is.
 |
mdg00102_03meg.a. ábra
|