Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

mdg00202b feladatAdott a síkon a d kör és a belsejében elhelyezkedő F pont. Mutassuk meg, hogy azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek érintik d-t és átmenek az F ponton, ellipszis (a definíciót lásd az mdg00200. feladat 1. megoldásának 1. megjegyzésében.
A(z) mdg00202b feladat 1. megoldása

A szerkesztett kör P középpontja egyforma messze van a T, F pontoktól.

FP = TP.
mdg00202_01meg_a. ábra.

Másrészt, mivel F a d kör belső pontja, így az FOdT háromszögben (lásd az mdg00202_01meg_a. ábrát) FOd > OdT, ezért az FT oldal f felezőmerőlegese a FOd, OdT oldalak közül az utóbbit metszi. Ebből következik, hogy ilyenkor

TP = OdT - OdP,
így ha a d vezérkör sugarát (fent OdT) 2a-val jelöljük, akkor
FP + OdP = 2a. (*)
A kapott egyenlet azt fejezi ki, hogy P egy ellipszisen van, melynek fókuszpontjai Od és F.

Másrészt könnyű megmutatni, hogy ha P a (*) összefüggéssel definiált ellipszis pontja, akkor olyan kör középpontja, amely átmegy F-en és érinti a d vezérkört. Valóban, a P középpontú FP sugarú kör átmegy F-en és a kör OdP egyenesre eső (Od ≠ P, mert OdF < 2a), P-től Od-vel ellenkező irányba eső T pontjára OdT = OdP + PF = 2a, azaz e kör T-ben érinti d-t.