Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

A(z) nyomvonal001b feladat 1. megoldása

Megmutatjuk, hogy a P és Q pontok mértani helye derékszögű hiperbola. Helyezzük az ábrát egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az A, valamint a B pontok koordinátái:  és  legyen. Mivel az O pont illeszkedik az y-tengelyre, ezért , ahol v tetszőleges valós szám lehet, míg az O középpontú, A-t tartalmazó kör sugara , ezért a kör egyenlete .

nyomvonal001b_01meg_a. ábra

Mivel a P és Q pontokat az  egyenletű egyenes metszi ki a körből, ezért azok koordinátáit az alábbi egyenletrendszer megoldásai szolgáltatják:

Az egyenletrendszer megoldása után kapjuk, hogy  és . Könnyen ellenőrizhető, hogy mind P, mind Q koordinátái kielégítik az

egyenletet, ami valóban egy derékszögű hiperbola egyenlete. Gondolatmenetünk lépései megfordíthatók, azaz a kapott hiperbola minden pontja előáll egy alkalmasan választott kör y-tengelytől való legtávolabbi pontjaként.