Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
A simson001b_01meg_a. ábra jelöléseinek megfelelően legyen az ABC háromszög körülírt körének egy tetszőleges pontja P, a megfelelő oldalegyenesekre vonatkozó merőleges vetületei pedig X, Y és Z. Megmutatjuk, hogy az X, Y, Z pontok egy egyenesre illeszkednek.
 |
|
simson001b_01meg_a. ábra
|
Az ábra hemzseg a húrnégyszögektől; ilyen például az ABPC négyszög, hiszen csúcsai mind az ABC háromszög körülírt körén helyezkednek el. De húrnégyszög az AZPX négyszög is, hiszen a szemközti Z és X csúcsainál derékszögek vannak, amelyek összege éppen 180°. Az elmondottakból következik, hogy
továbbá
és így persze
Ha a fenti egyenlőség két oldalán szereplő szögek mindegyikéből elvesszük a bennük megtalálható 
szöget, akkor a visszamaradó szögek is egyenlőek, vagyis
Ugyanakkor húrnégyszög például az XPYC, valamint az YPBZ négyszög is, hiszen mindkét négyszögben két szemközti szög derékszög. Az XPYC négyszög körülírt körében az XC köríven nyugvó kerületi szögek egyenlők, és így 
. Ehhez hasonlóan az YPBZ
négyszög körülírt körében a BZ íven nyugvó kerületi szögek egyenlőek,
és így 
. Az utóbbi két egyenlőség bal oldalán szereplő szögekről már kimutattuk, hogy egyenlők, amiből már következik, hogy
Ez azt is jelenti, hogy az egyenlőség két oldalán szereplő szögek csúcsszögek, és így az X, Y, Z pontok valóban egy egyenesre illeszkednek.