A(z) szv00302 feladat 1. megoldásaAz szv00202 feladat 1. megoldásában kiegészítettük a mértani helyet azzal, hogy az R pontot a teljes e körön futtattuk és mindkét irányban felmértük tőle az átmérő hosszát az RA egyenesre. Az szv00202_01meg_c. ábra alapján úgy tűnik, hogy így kapjuk meg a teljes kardioidot. Ezt fogjuk alább igazolni.

Rajzoljuk meg az e kör RA-ra merőleges t′, t érintőit. Az szv00302_01meg_a. ábrán e, R, A, t′, t szimmetrikus az e kör RA-ra merőleges sugarának egyenesére.

A P, P′ pontokat úgy kaptuk, hogy felmértük RA-ra R-ből a 2r távolságot (lásd az szv00302_01meg_b. ábrát). Mivel RP = 2r és t′, t között is épp 2r a távolság, így P és t távolsága megegyezik R és t′ távolságával. A szimmetria miatt R és t′ távolsága megegyezik A és t távolságával is, így P az A tükörképe t-ra.

Hasonlóan kapjuk, hogy A-nak a t′-re vonatkozó P′ tükörképére A′P′ = 2r. Ha R befutja e-t, akkor AR felveszi az összes A-n átmenő egyenest (R=A esetén RA-t érdemes az e kör A-beli érintőjének értelmezni), ezért t′ és t befutja e összes érintőjét, így valóban kardioidhoz jutunk.