Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

szv00303 feladatMutassuk meg, hogy az szv00102 feladatban meghatározott körök uniója egy kardioid pontjainak és belső pontjainak uniója.
A(z) szv00303 feladat 1. előzetes megjegyzése

Először kérdezzük meg a diákokat, hogyan értelmeznék a kardioid belső és külső pontjait, utána térjünk rá az alábbi definícióra. Az érintő értelmezését (tárgyalását lásd később) is vitával, beszélgetéssel készítsük elő.

Kardioid belső és külső pontjai Az e kör és az A pont által meghatározott kardioid belső pontjának nevezzük P-t, ha az AP szakasz felezőmerőlegese metszi e-t, míg P külső pont, ha a felezőmerőlegesnek nincs közös pontja e-vel.

A kardioid definícióját lásd az szv00301 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzésében.

A(z) szv00303 feladat 1. megoldása

Tekintsük az e kör tetszőleges T pontját, a T középpontú A-n átmenő kT kört és valamely erre illeszkedő P pontot. AP a kT kör húrja, így felezőmerőlegese átmegy T-n. Ha a felezőmerőleges T-ben érinti e-t, akkor definíció szerint P a kardioid pontja, míg ha metszi e-t, akkor belső pont. Tehát a vizsgált kT körök uniója valóban a kardioid pontjai és belső pontjai halmazának része.

szv00303_01meg_a. ábra.

Másrészt, ha Q tetszőleges pont a kardioidon vagy annak belsejében, akkor az AQ szakasz felezőmerőlegese definíció szerint érinti vagy metszi az e kört. A T érintési vagy metszéspont körüli A-n átmenő körre ilyenkor Q is illeszkedik, tehát a kardioid pontjainak és belső pontjainak halmaza része a vizsgált körök uniójának.

A levezetésből az is kiderült, hogy a kardioid belső pontjain pontosan két T∈ e pont esetén megy át a kT kör, míg a kardioid pontjain egy és csakis egy T∈ e pontra megy át a kT kör.