Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

szv00603 feladatLegyenek e1, e2, e3 egyenesek a síkon, m1, m2, m3 rögzített valós számok és jelölje Δi(P) a P pontnak az ei egyenestől mért előjeles távolságát. Mutassuk meg, hogy az
m1Δ1(P) + m2Δ2(P) + m3Δ3(P) = 0
egyenlet egyenes (esetleg a teljes sík vagy üres alakzat) egyenlete.
A(z) szv00603 feladat 1. megoldásaJelölje ni az ei egyenes egységnyi hosszú, a pozitívan számított félsík felé irányuló normálvektorát, Pi pedig az egyenes egy tetszőleges pontját. Ekkor a skaláris szorzás definíciója alapján
Δi(P) = (P – Pi)·ni.
Ezért a feladatban megadott egyenlet ekvivalens az alábbi egyenletek bármelyikével:

m1(P – P1) ·n1 + m2(P – P2)·n 2 + m3(P – P3)·n3 = 0,

P·(m1n1 + m2n2 + m3n3) – (m1P1·n1 + m2P2·n2 + m3P 3·n3 ) = 0.

Vizsgáljuk az utóbbi egyenletet! Látható, hogy ha az m1n1 + m2n2 + m3n3 vektor nullvektor, akkor a sík egyenletéről vagy üres alakzatról van szó, aszerint, hogy a második zárójeles kifejezés (P-től független!) értéke zérus vagy sem. Ha a vizsgált vektort nem nullvektor, akkor viszont egy m1n1 + m2n2 + m3n3 normálvektorú egyenes egyenletét kaptuk.

Javaslatok folytatásra a(z) szv00603 feladat után: Az szv00701, feladatok.