A(z) szv00704 feladat 1. megoldásaHa az egyenletben (lásd még az szv00703 feladatot) végrehajtjuk az (inverziónak megfelelő) helyettesítést, majd átszorzunk -nel, akkor épp szv00703_01meg_a konjugáltját kapjuk. Ez azt jelenti, hogy az szv00703_01meg_a egyenlet megoldásai csak az  összefüggésnek megfelelő, tehát egységnyi komplex számok lehetnek, illetve a további gyökök olyan párokban fordulhatnak elő, amelyek tagjai egymás képei az egységkörre vonatkozó inverziónál. Ha belátjuk, hogy külső pontból legalább két érintő húzható a kardioidhoz, akkor a fentiekből már következik, hogy három húzható.

Tekintsük a P külső pontból induló félegyeneseket. A PA félegyenesnek és a kardioid belsejének van közös pontja, az ellenkező irányú félegyenesnek pedig nincs közös pontja a kardioiddal és a belsejével sem. Mindezek következnek abból, hogy a kardioid bizonyos A-t tartalmazó szakaszok végpontjaiból, belseje ugyanezen szakaszok belső pontjaiból áll.

Paraméterezzük a félegyeneseket valamely P körüli l kör pontjaival! PA tartozzék az A₁=PA∩ l, az ellenkező félegyenes az A₀ köri ponthoz. Színezzük az l kör pontjait pirossal és kékkel, az X∈l pont legyen kék, ha a PX félegyenesnek van közös pontja a kardioid belsejével, illetve legyen piros, ha nincs. A kardioid előbb említett leírásából következik, hogy ha X kék, akkor a rövidebb A₁X ív pontjai is kékek, míg ha X piros, akkor a rövidebb A₀X ív is piros. Tehát a piros pontok is és a kékek is egy-egy ívet alkotnak.

A Dedekind axiómából adódik, hogy a piros és a kék ívnek mindkét A₀A₁ íven van egy-egy határpontja, B₀ és B₁. Annak alapján, hogy a kardioidvonal kompakt, és a kardioid belső pontjainak halmaza nyílt halmaz, megmutatható, hogy a PB₀, PB₁ félegyeneseknek van közös pontja a kardioiddal, de a kardioid belsejével nincs közös pontja. Mivel a kardioid olyan algebrai görbe, amely nem tartalmaz egyenest (így szakaszt sem), ezért a PB₀, PB₁ félegyenesek csak véges sok közös pontja van a kardioiddal, tehát érintők.