9-10. óra

F.:

Építsd fel az összes osztóját a 150-nek és a 100-nak. Válaszd ki a közöseket.

	150 = 2·3·5·5	100 = 2·2·5·5

	A 150 osztói	A 100 osztói
0 prím	1	1
1 prím	2, 3, 5	2, 5
2 prím	2·3, 2·5, 3·5, 5·5	2·2, 2·5, 5·5
3 prím	2·3·5, 2·5·5, 3·5·5	2·2·5, 2·5·5
4 prím	2·3·5·5	2·2·5·5

Közös prímtényezők a 2 és az 5, ezekből épülnek fel a közös osztók: 1, 2, 5, 2·5, 5·5, 2·5·5.
Ezek közül a legnagyobb, a 2·5·5.
Két vagy több (de véges sok) szám osztóinak száma véges, ezért ezek között mindig van legnagyobb, melyet az összes KÖZÖS PRÍMTÉNYEZŐ felhasználásával építünk fel. Előbbi példánkban egy 2-es és két 5-ös tényező közös, melyekből épített 2·5·5 szorzat a legnagyobb közös osztó.

Ajánlott tankönyvi feladatok : 88 – 90 oldal 1- 15.

Itt nehéz a válogatás, mert a feladatok a minimális követelményszinttől a versenyszintig fokozatosan nehezedő láncot alkotnak, ki-ki saját tanítványihoz alkalmazkodva kell válogasson. Néhány kedvencemet azért gyűjtöttem mégis ide, mert – talán – elütnek annyira az elterjedt gyakorlattól, hogy épp ezért tarthassanak számot az érdeklődésre.

F₁.:

Melyik az a legnagyobb szám,
a) amivel az összes páros szám osztható, (2)
b) amivel az összes 0-ra végződő szám osztható? (10)

F₂.:

A megadott számokból alkoss számpárokat minden lehetséges módon! Hány olyan számpárt találtál, amelyeknek a legnagyobb közös osztója az 1?
15, 18, 27, 40, 63

Összesen 10 számpár található, ezek közül relatív prímek (27;40)=1 és (40; 63)=1

F₃.:

(a tankönyvben 9. feladat) Egy esküvőn 416 poharat és 224 tányért hordtak ki az asztalokra. Minden ünneplőnek ugyanannyi pohárral és ugyanannyi tányérral terítettek. Hányan lehettek az esküvői vacsorán, ha tudjuk, hogy 30-nál többen fogadták el a meghívást.

A két szám legnagyobb közös osztója 32, ezért ennyien lehettek, más megoldás nincs, mert a többi közös osztó mind kisebb 30-nál. (416= 2·2·2·2·2·13; 224=2·2·2·2·2·7. A közös osztók: 1, 2, 2·2, 2 ·2·2, 2·2·2 ·2, 2·2·2·2·2)

Differenciálásra alkalmas nehezebb feladatok:

(Tk 90. oldal 12-15)

F₄.:

Két szám legnagyobb közös osztója a 12, az egyikszám 48. Mennyi lehet a másik? (részletes megoldás)

F₅.:

Három természetes szám közül az első kettő legnagyobb közös osztója a 6, a második és harmadik legnagyobb közös osztója a 10. Mi lehet ez a három szám? (részletes megoldás)

F₆.:

Hány olyan tovább már nem egyszerűsíthető 0 és 1 közötti tört van, amelynek 100 a nevezője? (részletes megoldás)

F₇.:

Lucának két testvére van. Hármójuk életkorának szorzata 30, összege 14. hány évesek külön-külön? (A gyerekek életkora egész szám) (részletes megoldás)

A LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS fogalmát jól előkészítette néhány órával ezelőtti táblázatos feladatunk, térjünk most vissza hozzá. (játék₄)

Megjegyzés:

Elég visszalapozni füzetünkben, hiszen oda beragasztottuk már a színezett táblázatokat. Gyengébb osztályokban újra „elsüthetjük” más számokkal, nem baj, ha a tapasztalat megerősítést nyer, de folyamodhatunk más ötlethez is.

Kérdéseink:
Vitatkozzunk bátran a legnaivabban, minél hitelesebben vagyunk tájékozatlanok, annál inkább vannak együtt velünk egy vitában a gyerekek. Az így kiérlelt fogalmak tulajdonságait jól értik és megjegyzik.

Nálam nagyjából így alakul egy efféle vita:
Mely számok vannak kékkel és pirossal színezve?
- Azok, amelyek 3-nak és 5-nek többszörösei; A 15-tel osztható számok
Hogy kerül ide a 15?
- Osztható 3-mal és 5-tel is.
AHA! Értem! A 60 is ilyen, tehát azok a számok vannak kékkel és pirossal színezve, amelyek a 60-nak többszörösei.
- Nem csak azok! Az a baj, hogy a 60 nem elég kicsi.
Jó, akkor legyen 45, vagy 30. (Legkésőbb ezen a ponton győz a tanári „kekeckedés”)
- A 15 a LEGKISEBB olyan szám, amelyik 3-nak és 5-nek is többszöröse, ezért a 15 többszörösei jelentek meg.

Megjegyzés:

Ha az osztály jól megértette a prímek tégla-tulajdonságát, akkor itt egyszerűen sarokba szorítanak mondván: Ha egy szám osztható 3-mal és 5-tel, akkor téglái közt legalább egy 3-as és legalább egy 5-ös szerepel. Ebből pontosan annyi következik, hogy 3·5=15-tel osztható, se több, se kevesebb.
További vitára ad viszont módot, ha itt LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS helyett az hangzik el, hogy a 15 a 3 és 5 szorzata. (Azaz: azért vannak a 15-többszörösök színezve két színnel, mert a 15=3·5.) Noha az állítás igaz, (mintha az előbb is így érveltünk volna) mégsem értünk célba, mert a 15 nem attól jelent meg, mert a 3 és 5 szorzata, hanem attól, hogy a lkkt.-ük. Ezt azonban most hiábavaló volna magyarázni, nem is értené minden tanulónk, meg érdekes sem volna. Ehelyett vágjunk „póker arcot”, s ugorjunk a következő színezett táblánkra, melyen NEM RELATÍV PRÍMEKkel színeztünk. Most majd kibújik a szög a zsákból. ( 4 és 6 többszörösökkel dolgozzunk, itt két színnel nem a 24-gyel, hanem a 12-vel osztható számok jelennek meg. Akkor futottunk be a célvonalra, amikor ilyesmit hallunk: ha egy szám osztható 4-gyel, akkor van két 2-es téglája. Ha még 6-tal is osztható, akkor egy 2-es és egy 3-as szükségeltetik, amiből az előbbi már rendelkezésre áll, így számunk prímtéglái közt szerepel 2·2·3=12. A szám tehát 12-nek többszöröse.

Vitánk során eljutunk a legkisebb közös többszörös fogalmához. Időzzünk el a kérdésen, vajon bármely 2, 3, 4… számhoz található-e ilyen szám. (Persze. Közös többszörösök vannak – végtelen sok – hiszen pl. a számok szorzatának minden többszöröse is ilyen. Legkisebb is van közöttük. Mi tudjuk, hogy a természetes számok bármely részhalmazának van legkisebb eleme, ezt azonban diákjainktól nyilván nem fogjuk és nem is akarjuk hallani. Azonban e tényt ők éppúgy érzik, és ügyesen körülírják, hogy hol keressük. Lehet maga a legnagyobb szám pl.: = 10, vagy lehet a számok szorzata, pl.: . A KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS nem lehet kisebb a megadott számoknál, mert ezeknek többszöröse, de nem is nagyobb a szorzatuknál, mert a szorzatuk már közös többszörös. Ezért e kettő között meg lehet találni.

F₁.:

Építs olyan számot, amely osztható
          a) 2-vel, 3-mal, 5-tel, és
          b) 2-vel, 6-tal, 8-cal, és
          c) 12- vel, 8-cal, és
          d) 12-vel, 7-tel, 16-tal, és a legkisebb az ilyenek között!

Megjegyzés:

Építkezős módszerünk előnye, hogy nem kell mutatnunk eljárást a lkkt előállítására, anélkül is megoldják e feladatokat könnyedén. Néhány ilyen építkezés után fogalmaztassuk meg a gyerekekkel, hogyan állítható elő a lkkt. Előfordul, hogy már ekkor észreveszi egy-egy gyerek, hogy a lkkt előállítható az számok szorzatából úgy, hogy a lnko-val elosztjuk a szorzatot. Az ilyen gyerek azután szívesen alkalmazza is ezt a módszert a lkkt előállítására.
(Építős módszerünk segíti az efféle felfedezéseket, hiszen manuálisan éppen ez történik némely gyerek padján: kirakják az adott számok prímtégláit, csoportokba rendezve, majd elveszik az ismétlődő prímtéglákat, azaz a lnko tégláit.

Ajánlott tankönyvi feladatok: 91-93. oldal 5-11. Fgy 242-252.