Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
LátogatókÖsszes: 4 948 213 Mai: 2 758 HonlapokSULINET Matematika Oktatási Hivatal Versenyvizsga portál Matematika Portálok |
1. találat: Vegyes feladatok: VF_001383 Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001383 ) 2003 darab egymást követő egész összege 2003. Melyik közöttük a legnagyobb és a legkisebb? Témakör: *Számelmélet (algebra) (Azonosító: VF_000705 ) Igazoljuk, hogy bármely 1-nél nagyobb pozitív egész szám bármely 1-nél nagyobb pozitív egész szám kitevőjű hatványának kettes számrendszerbeli alakja tartalmazza a 0 számjegyet! Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_000289 ) A $P_0 P_1 ...P_n $ konvex $n+1$-szöget $n-2$ egymást nem metsző átlóval $n-1$ háromszögre bontottuk. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek megszámozhatók az $ 1,\,2,...,\,n-1$ számokkal úgy, hogy $i=1,\,2,...,\,n-1$-re az $i$ sorszámú háromszögnek valamelyik csúcsa $P_i $ legyen. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000488 ) Egy négyjegyű szám valamelyik két jegyét felcserélve az eredeti szám hatszorosát kapjuk. Melyik volt ez a szám? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000556 ) Az ABCD téglalap két szomszédos oldala $ 30\;\mbox{cm}$ és $ 50\;\mbox{cm}$. Bizonyítsa be, hogy az ABCD téglalap és a PQRS négyszög területére fennáll a következő egyenlőség: $ 30\cdot T_{PQRS} =17\cdot T_{ABCD} $!  Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001493 ) Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $ 4\cdot 3^x+\sqrt {4\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^{3x}+3^{4x}} =2. $ Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: VF_000174 ) Tekintsük azokat az $n$-jegyű tizes számrendszerben felírt pozitív egész számokat, amelyeknek minden számjegye páros. Bizonyítsuk be, hogy $n\ge 5$ esetén ezeknek az $n$-jegyű számoknak az összeg osztható $ 10^4$-nel, de nem osztható $ 10^5$-nel. Témakör: *Számelmélet (összetett, prím) (Azonosító: VF_000074 ) Igazoljuk, hogy $ 1979^{1980}+64 $ összetett szám! Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_001078 ) Ha Gabi fiú, akkor fiatalabb, mint Feri. Ha Gabi 13 éves, akkor Gabi l'ny. Ha Gabi nem 13 éves, akkor Gabi legalább olyan idős, mint Feri. Fiú-e vagy lány Gabi? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_000328 ) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan $k$ egész szám van, amelyre $k$ és $k$ + 1 is két pozitív egész szám négyzetének összegeként írható fel. b) Igazoljuk azt is, hogy nem létezik olyan $k$ egész szám, amelyre a $k$, $k$ + 1, $k$ + 2 és $k$ + 3 számok mindegyike felbontható két négyzetszám összegére. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001599 ) Egy sorozatban $a_1 =\dfrac{2}{3}$, $a_n =a_{n-1} +\dfrac{1}{\left( {n+1} \right)\left( {n+2} \right)}$, ha $n>1$. Állítsuk elő $a_n $-et $n$ függvényeként! Témakör: *Algebra (szöveges egyenlet, mozgás) (Azonosító: VF_000033 ) Az ABC egyenlőszárú háromszög oldala 52 m. A háromszög $A$ és $B$ csúcspontjából egyszerre indul egy-egy pont, az AC oldalon $ 3m \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sec }$, ill. a BC oldalon $ 4m \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sec }$ egyenletes sebességgel és halad $C$-ig. Mikor lesz a két mozgó pont egymástól mért távolsága egyenlő a háromszög magasságával? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001471 ) Az adott OAB háromszög AOB szöge kisebb 90\r{ }-nál. Az OAB háromszög kerületének vagy belsejének tetszőleges, de $O$-tól különböző $M$ pontjából merőlegeseket bocsátunk OA-ra és OB-re. Ezeknek a merőlegeseknek a talppontjait jelöljük rendre $P${\-}vel, illetve $Q$-val. Legyen továbbá $H$ az OPQ háromszög magasságpontja. Mi a $H$ pontok mértani helye, ha $M$ befutja a) az AB oldalt; b) az OAB háromszög belsejét? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_000746 ) Az ábrán látható tábla kilenc számozott mezőjét hányféleképpen lehet három színnel kiszínezni úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban legyen mindhárom színből?
Témakör: *Algebra (szöveges) (Azonosító: VF_000850 ) Egy 300 méter magas szikláról egymás után szabadon leesik két vízcsepp. Az első már $\dfrac{1}{1000}$mm-t esett, mikor a második megkezdi az esését. Hány mm-nyíre lesz egymástól a két vízcsepp abban a pillanatban, mikor az első a szikla talpához ér? (Az eredmény $\dfrac{1}{10}$mm-nyi pontosságig számítandó; a levegő ellenállását stb. ne vegyük tekintetbe.) Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001213 ) Állapítsuk meg, vajon van-e a háromdimenziós térben olyan $M$ ponthalmaz, amely véges számú, nem ugyanabba a síkba eső pontot tartalmaz és a következő tulajdonságú: a halmaz bármely két különböző $A$ és $B$ pontjához mindig található a halmaznak két pontja: $C$ és $D$, hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak és különbözők. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_001424 ) Melyek azok az $n$ egész számok, amelyekhez található olyan konvex, síklapokkal határolt test, melynek $n$ éle van? Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000565 ) Bizonyítsa be, ha egy derékszögű trapéz szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a merőleges szár: $\dfrac{2ac}{a+c}$, ahol az $a$ és $c$ a trapéz alapjai! Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000467 ) Egy körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságon $n$ játékos vett részt. A mérkőzések rendszertelenül kerültek sorra. Még nem volt vége a versenynek, amikor kiderült, hogy Péter, aki $k$ győzelmet aratott, behozhatatlan előnyre tett szert. Legalább hány mérkőzést játszottak le addig a bajnokságon? Témakör: *GEometria (Azonosító: VF_000453 ) Bizonyítsuk be, hogy ha bárhogyan is választunk ki egy egységnyi oldalú négyzet belsejében 19 különböző pontot, akkor van olyan háromszög, amelynek mindhárom csúcsa ezen 19 pont közül való és területe legfeljebb $\dfrac 1 {18}$ területegység! Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000404 ) Mennyi $a\%$-os alkoholt kell hozzátöltenünk $b$ liter $c\%$-os alkoholhoz, hogy $d\%$-os alkoholt kapjunk? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001528 ) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletrendszer: $ x^2+y^2+z^2=378 $ $ x+y+z=0. $ Témakör: *Számelmélet (oszthatóság) (Azonosító: VF_000817 ) Bizonyítsuk be, hogy az $a$, $b$ páratlan egész számok köbeiből alkotott $a^{B}-b^{3}$ különbség akkor és csak akkor osztható $ 2^{n}$-nel, ha ($a-b)$ osztható $ 2^{n}$-nel. Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001349 ) Az ABC egyenlő szárú háromszögben AB=AC. A $D$ pont a BC oldalnak az a belső pontja, amelyre BAD $\angle \quad = $ 30\r{ }, az $E$ pedig AC oldal azon belső pontja, amelyre AD = AE. Mekkora az EDC $\angle $? Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_001624 ) Bizonyítsa be, hogy tetszőleges háromszögben $ \dfrac{\cos \alpha \cos \beta }{ab}+\dfrac{\cos \beta \cos y}{bc}+\dfrac{\cos \gamma \cos \alpha }{ca}=\dfrac{\sin ^2\alpha }{a^2}, $ ahol $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma $ a háromszög szögei, és a velük szemközti oldalak rendre $a,\;b,\;c$. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: VF_000694 ) Egy kocka lapjait zöldre festettük, majd a befestett kockát feldaraboltuk egybevágó kiskockákra. Ezek közül pontosan annyinak van két festett (zöld) lapja, mint amennyinek egy zöld lapja. Hány kiskockára daraboltuk fel az eredeti kockát? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: VF_001253 ) Az $a $és $b$ számjegyek, és $a\ne 0$. Mutassuk meg, hogy az ababab alakú hatjegyű tízes számrendszerbeli számok oszthatók 777-tel! Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_000559 ) Az ABC háromszögben $\overline {CA} =\overline {CB} $. Vegyen fel a háromszög köré írható kör BC ívén egy tetszőleges $P$ pontot és legyen a $C$-ből az AP-re bocsátott merőleges talppontja $T$. Igazolja, hogy $\overline {AT} =\overline {TP} +\overline {PB} $! Témakör: *Geometria (Azonosító: VF_001223 ) Az ABCD tetraéder mindegyik lapja hegyesszögű háromszög. Legyen $X$, $Y$, $Z$, $T$ rendre az AB, BC, CD, DA él egy-egy belső pontja, és tekintsük az összes XYZTX zárt törött vonalat. Bizonyítsuk be, hogy a) ha $ DAB\angle +BCD\angle \ne ABC\angle +CDA\angle , $ akkor az XYZTX töröttvonalak között nincs legrövidebb; b) ha $ DAB\angle +BCD\angle =ABC\angle +CDA\angle , $ akkor az XYZTX törött vonalak között végtelen sok legrövidebb van, azok mindegyike $ 2AC\sin \dfrac{\alpha }{2} $ hosszúságú, ahol $\alpha =BAC\angle +CAD\angle +DAB\angle $. Témakör: *Algebra (Azonosító: VF_000409 ) $A$ községből egy nő 10 óra 31 perckor elindult és egyenletesen haladva 13 óra 43 perckor érkezett $B$ községbe. Ugyanezen a napon $B$-ből 9 óra 13 perckor indult el egy férfi ugyanazon az úton, és állandó sebességgel 11 óra 53 perckor ért $A$-ba. Útközben egyszerre értek egy hídhoz, amelyet a nő (miután egymás mellett elhaladtak) 1 perccel később hagyott el, mint a férfi. Mikor értek a hídhoz, és hol vannak a híd végpontjai?
|
KeresésHonlapokKözépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Wolfram Alpha Art of Problem Solving Kvant IMO |
|||||||||||||||||
|
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
|
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium
|
|
1082 Budapest, Horváth Mihály tér 8. OM azonosító: 035277 |
Joomla template: szsnjm4-001 (c) Szoldatics József 2011/2023
www.szolda.hu
www.szolda.hu