Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

Látogatók

Összes:
6 227 003

Mai:
550

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium
vpg

fb kereses

Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV)

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 530 (listázott találatok: 1 ... 30)

1. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f1f )

Oldja meg a valós számok halmazás a

$\log_{2x}x+\log_{8x^2}x=0 $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f2f )

Legyenek $ x $ és $ y $ olyan pozitív egészek, melyek eleget tesznek a $ 4 y^2 - 9 x^2 = 2007 $ egyenletnek. Mennyi az összes összetartozó $ x $ és $ y $ érték szorzatának legnagyobb prímosztója?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f3f )

Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapjának hossza háromszorosa a $ CD $ alapnak és az $ AD $ szárnak. Az $ AC $ átló hossza $ 5 $ egység, a $ BC $ szár hossza $ 10 $ egység. Mekkorák az $ ABCD $ trapéz oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f4f )

Bizonyítsa be, hogy $ 2006^{2007} + 2008^{2006} + 2007 $ osztható $ 7 $ -tel!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f5f )

Bizonyítsa be, hogy egy tetszőleges háromszög $ a , b, c $ -vel jelölt oldalai között akkor és csak akkor áll fenn az $ a \le b \le c $ egyenlőtlenség, ha az $ s_a $ , $ s_b $ , $ s_c $ -vel jelölt súlyvonalakra fennáll az $ s_a \ge s_b \ge s_c $ egyenlőtlenség!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 20072008 I. kategória 1. forduló 6. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_1k1f6f )

András és Balázs kosárra dobásban méri össze tudását. Annak valószínűsége, hogy András a kosárba talál 0,7; míg Balázs 0,4 valószínűséggel dob kosarat. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob.

- Ha András talál, és Balázs nem, akkor András nyer.

- Ha Balázs talál, és András nem, akkor Balázs nyer.

- Minden más esetben a játszma eredménye döntetlen.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymás utáni játszma mindegyike döntetlen lesz?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f1f )

Legyen 

$ f(x)=\log_2\left(tg\ x+\dfrac{1}{\cos x} \right)$

és

$g(x)=\dfrac{2^{f(x)}-2^{-f(x)}}{2} $

minden olyan valós $ x $ -re, amelyre a szereplő függvények értelmezhetők. Mennyi $ g\left( \dfrac{\pi}{4 }\right) $ pontos értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f2f )

Tekintse

$p(x ) = ( 5 x − 2 )\cdot (2 x + 4 ) \cdot ( x − 251 )$

és

$q ( x ) = (a − b + c ) \cdot x^3 + ( 3a + b − c )\cdot x^2 + (a + b + c ) \cdot x + d $

a polinomokat! Határozza meg az $ a $ , $ b $ , $ c $ és $ d $ valós számokat úgy, hogy

$ p(x ) = q(x ) $

minden valós x -re teljesüljön!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f3f )

Az $ a_n $ és $ b_n $ számsorozatokat az alábbi módon definiáljuk:

$ a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}$

és

$b_n=n\cdot a_n-a_1-a_2-\ldots-a_n$

Határozza meg $ b_{2008} $ értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f4f )

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ AB $ oldala, mint átmérő fölé rajzolt kör a $ BC $ szakaszt a $ P $ , az $ AC $ szakaszt a $ Q $ pontban metszi. Legyenek a $ P $ és a $ Q $ pontokból az $ AB $ -re bocsátott merőlegesek talppontjai $ X $ és $ Y $

$\dfrac{PX}{QY }=\dfrac{b^2\cdot (a^2+c^2-b^2)}{a^2\cdot (b^2+c^2-a^2) } $

Bizonyítsa be, hogy ahol $ a, b, c $ az $ ABC $ háromszög oldalhosszait jelentik!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 20072008 II. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1k2f5f )

Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletet, ha $ p $ pozitív prímszám:

$ \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 - p^2 } + \sqrt{ x^2 - 2 x - 3 + p^2 } = p^2 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf1f )

Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk:

$K=\dfrac{x^3 - x^2 - 9 x + 2017}{x^2-9 } $

ahol $ x \in [ - 2008 ;2008] $ és $ x \in \mathbb{Z} $ . Mennyi a valószínűsége annak, hogy $ K $ egész szám, ha $ x $ eleget tesz a fenti feltételeknek?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf2f )

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójára és az $ AC $ befogójára kifelé megrajzoltuk az $ ABDE $ és $ ACFG $ négyzeteket. Jelölje $ M $ az $ EC $ és $ BG $ szakaszok metszéspontját! Mekkora szögben látszanak az $ M $ pontból az $ ABC $ háromszög oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 20072008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_1kdf2f )

Egy $ m $ sorból és $ n $ oszlopból álló, téglalap alakú táblázat minden mezőjébe egy-egy számot írunk oly módon, hogy az egyes sorokba írt számok egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait képezik, hasonlóképpen az egyes oszlopokba írt számok is egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Mennyi a táblázatba írt számok összege, ha a téglalap négy sarkába (csúcsába) írt számok összege $ 2008 $?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f1f )

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

$  \log_2(1+\cos (2x)) = 2 ^{1+\cos(3x)} $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f2f )

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felezőpontja $ F $ , az $ AB $ oldal egy belső pontja $ T $ , az $ AF $ és $ CT $ szakaszok metszéspontja $ M $. Az $ ATM $ háromszög területe 8, a $ CFM $ háromszög területe 15 egység. Mekkora lehet az $ ABC $ háromszög területe?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f3f )

Határozzuk meg, mely $ a $ és $ b $ egész számokra igaz:

$  \dfrac{b}{a-1}+\dfrac{a-4}{b+1}=1 $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f4f )

Bizonyítsuk be, hogy egy olyan téglalap alapú gúlában, amelyben a gúla magasságának a talppontja az alap valamely csúcsába esik, a leghosszabb oldalél hosszának negyedik hatványa legalább hatszorosa az oldallapok területei négyzetösszegének.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_2k1f5f )

Adott az $ x \mapsto \dfrac{2x+1}{2}-\sqrt{x^2+1} $ függvény, ahol $ x\ge 0 $.

a) Monoton nő, vagy csökken a függvény?

b) Melyik az a legkisebb pozitív egész $ n $, amelyre $ f(n)<\dfrac{1}{2008} $?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 2. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f1f )

Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyek 100 darab egységnyi oldalú szabályos háromszögre darabolhatók. Mekkorák lehetnek a megfelelő négyszögek oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f2f )

Egy 30 fős osztályban a karácsonyi ajándékozásról sorshúzással döntenek. Minden diák nevét felírják egy papírra, majd a 30 papírdarabot egy sapkába teszik. Névsor szerinti sorrendben mindenki kihúz egy papírt a sapkából és a rajta szereplő embernek készít ajándékot. Elképzelhető, hogy valaki saját magát ajándékozza meg.
Az átadás úgy történik, hogy először jelentkeznek, akik magukat húzták, majd a többi diák közül a legfiatalabb diák átadja ajándékát az általa húzott embernek, és innentől aki éppen megkapja az ajándékát, az lesz a soron következő ajándékot átadó ember. Ha valahol elakad a sor, azaz olyan diák kapja az ajándékot, aki már a sajátját átadta, de még nem mindenki adta át illetve kapta meg az ajándékát, akkor ez utóbbiak közül a legfiatalabb újra kezdi.
Mennyi a valószínűsége, hogy egy osztályban hat egymást követő év karácsonyi ajándékozása során lesz legalább egy olyan év, amelyben senki nem húzza magát és a sor sem akad el? (Az osztály létszáma minden évben ugyanannyi.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f3f )

Melyek azok az $ x $, $ y $, $ z $ és $ w $ valós számok, amelyekre egyszerre teljesül:

$  x+y+z=\dfrac{3}{2}$

és

$ \sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\ge 2+3^{w-2} $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f4f )

Adott egy egységnyi oldalú négyzet. Határozzuk meg a négyzet síkjában levő azon körök középpontjainak a halmazát (mértani helyét), amelyeknek a négyzet mind a négy oldalával két közös pontja van.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20072008_2kdf1f )

Egy urnában van $ n + 2 $ darab cédula. Két cédulán páros szám, $ n $ darabon pedig páratlan szám van, ahol $ n \ge 2 $. Ketten játszanak A és B. Minden játékot A kezd, kihúz két cédulát visszatevés nélkül, majd B is ugyanezt teszi. Az A játékos nyer, ha az általa húzott számok összege páros, de B összege páratlan. B nyer, ha az ő két számának összege páros, de A összege páratlan. Ha mindkettőjük összege egyszerre páros, vagy egyszerre páratlan, akkor újra játszanak. Milyen n érték esetén lesz a legkisebb az újrajátszás valószínűsége?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2kdf2f )

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felező pontja $ D $. Az $ ABD $ és $ ADC $ háromszögek köré írt körök középpontjai rendre $ E $ és $ F $ . A $ BE $ és

$ CF $ egyenesek metszéspontja $ G $. Tudjuk, hogy $ BC=2DG=2008 $ és $ EF = 1255 $ egység. Mekkora az $ AEF $ háromszög területe?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória döntő 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_2kdf3f )

Egy 2 egység magasságú egyenes körhenger alapkörének átmérője legyen egy egység. A hengert olyan síkkal messük el, mely a forgástengellyel $ 45^\circ$-os szöget zár be és az alapkörrel egyetlen közös pontja van. Legyen ez a pont $ O $. A hengerpalástot ezután az $ O $ ponton átmenő alkotó mentén felvágva kiterítjük, ami által a metszetgörbe síkgörbe lesz. Mely $ x \mapsto (x) $ függvény grafikonja ez a síkgörbe?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2007/2008 III. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_3k1f1f )

Az $ ABCD $ síkbeli négyszög átlóinak (konkáv négyszög esetében az átlóegyeneseinek) metszéspontja $ M $, az $ AMB $, $ BMC $, $ CMD $ és $ DMA $ háromszögek súlypontjai rendre a $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ pontok, a $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $ és $ ABC $ háromszögek súlypontjai pedig rendre az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok. Bizonyítsuk be, hogy az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok a $ PQRS $ négyszög oldalegyenesein vannak.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2007/2008 III. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20072008_3k1f2f )

Legyen $ f $ a pozitív valós számokon értelmezett valós értékű függvény, amelyre minden $ x, y $ esetén $ f (xy) \le xf (y) $. Igazoljuk, hogy minden $ x, y $-ra $ f (xy) = xf (y) $.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2007/2008 III. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_3k1f3f )

A térbeli $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ és $ E $ pontok közül semelyik négy sem esik egy síkba. Az $ A $ és $ B $ pontokat elválasztja a $ CDE $ sík (vagyis $ A $ és $ B $ a $ CDE $ sík különböző oldalára esik). Hasonlóan, $ B $-t és $ C $-t elválasztja az $ ADE $ sík, $ C $-t és $ D $-t elválasztja az $ ABE $ sík. Mutassuk meg, hogy ekkor $ D $ és $ E $ az $ ABC $ síknak ugyanarra az oldalára esik.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2007/2008 III. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_3k1f4f )

Van-e olyan, valós számokból álló, a $ [0, 1] $ intervallumba eső A végtelen halmaz, amely nem tartalmaz háromtagú számtani sorozatot, de bármely két $ A $-beli elem közé is esik $ A $-beli elem?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 

 

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

HivatalosHonlap Matkonyv InformatikaPortal KemiaPortal  
FizikaPortal KulturtortenetiEnciklopedia AlsosPortal TortenelemFilozofia
BiologiaPortal BiologiaPortal MagyarPortal MagyarPortal
  BiologiaPortal MagyarPortal  

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak