Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

Látogatók

Összes:
5 750 452

Mai:
2 142

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium
vpg

fb kereses

Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV)

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 530 (listázott találatok: 1 ... 30)

1. találat: OKTV 20222023 I. kategória 2. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20222023_1k2f1f )

Határozza meg az $n$ természetes számot és az $X$ számjegyet, ha teljesül, hogy

$  \dfrac{n}{1221}=0,\dot{1}2\dot{X} = 0, 12X12X12X\ldots  $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 2009/2010 I. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20092010_1k1f3f )

Melyik az a 10-es számrendszerben felírt, $ \overline{xyzu} $ alakú négyjegyű szám, amelynek számjegyeire teljesülnek az $u + z − 4x = 1$ és $u +10z − 2y = 14$ feltételek?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 20222023 I. kategória 2. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20222023_1k2f5f )

Legyenek $ a $, $ b $ és $ c $ olyan pozitív valós számok, amelyekre $ a + b + c = 1 $.

a) Bizonyítsa be, hogy

$ \dfrac{4}{3}\le ( a + b )^2 + ( b + c )^2 + ( c + a )^2  $

Az $ a $, $ b $ és $ c $ mely értékei esetén teljesül az egyenlőség?

b) Igazolja, hogy

$ ( a + b )^2 + ( b + c )^2 + ( c + a )^2 < 2. $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 2013/2014 III. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20132014_3k1f1f )

A P pont végigfut egy kör félkörnél rövidebb AB ívén. Legyen P* a P-vel átellenes pont a körön. Bizonyítsuk be, hogy $AP*\cdot BP*-AP \cdot BP$ állandó.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 2022/2023 III. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20222023_3kdf1f )

Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben a beírt kör középpontjának a súlyponttól mért távolsága kisebb, mint a háromszög leghosszabb oldalának a harmada.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 2010/2011 I. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20102011_1k1f5f )

Határozza meg az $ a $ számjegyet úgy, hogy a tízes számrendszerbeli $ N = \underbrace{999 ... 9}_{100}\ a\ \underbrace{000 ... 0}_{100}\ 9 $ alakú szám egy egész szám négyzete legyen!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 2021/2022 III. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20212022_3kdf2f )

James Bond, a 007-es ügynök feladata egy csupa különböző ötjegyű számból álló titkos lista megszerzése, amit el kell juttatnia M-hez (a számok sorrendje nem számít, a listán legalább 10 és legfeljebb 100 szám van). Gyanús azonban, hogy a futár ellenséges ügynök, ezért Bond megváltoztatja a lista egyik számát úgy, hogy továbbra is ötjegyű, és a többitől különböző legyen. Meg tud-e Bond és M állapodni előzetesen (a titkos lista ismerete nélkül) olyan módszerben, mellyel a megváltoztatott listából M rekonstruálni tudja az eredetit?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 2022/2023 III. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20222023_3k1f4f )

Két bolha, Anett és Balázs ül a koordináta-rendszer egy-egy rácspontján. Anett az origóból indul, és kezdetben, illetve minden lépés után a (0, 1) vektor irányába néz. Balázs az (x, y) rácspontból indul, kezdetben ő is a (0, 1) vektor irányába néz, ám ő minden lépés után abba az irányba néz, amerre haladt a lépés során. Minden lépésben mondunk egy irányt a bolháknak (jobbra, balra, előre vagy hátra), és mindkét bolha egységnyit ugrik a megadott irányban a nézési irányához képest. Például ha az első három lépésben a jobbra, balra és előre irányokat mondjuk, akkor Anett az (1, 0), (0, 0), (0, 1) pontokat járja be, míg Balázs az (x + 1, y), (x + 1, y + 1), (x + 1, y + 2) pontokat. Melyek azok az (x, y) számpárok, melyekre lehetséges, hogy valahány lépés után ugyanazon a rácsponton fog ülni Anett és Balázs?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória 2. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2k2f1f )

Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyek 100 darab egységnyi oldalú szabályos háromszögre darabolhatók. Mekkorák lehetnek a megfelelő négyszögek oldalai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 2020/2021 III. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20202021_3k1f5f )

Határozzuk meg azokat az $ f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} $ függvényeket, amelyekre minden $ x \ne y $ valós szám esetén teljesül, hogy

$ \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=g\left(\dfrac{x+y}{2} \right) $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 2013/2014 II. kategória döntő 3. feladat
Témakör: *Geometria (hasonlóság)   (Azonosító: OKTV_20132014_2kdf3f )

Legyenek $a_1,a_2,a_3,\ldots a_{2014}$ 1-nél kisebb pozitív valós számok, melyek szorzata A, valamint legyen $A_i=\dfrac{A}{a_i},\,i\in \{1;2;\ldots 2014 \}$. Bizonyítsuk be, hogy

$ 1<\dfrac{1}{log_{a_1}(a_1a_2)}+\dfrac{1}{log_{a_2}(a_2a_3)}+\ldots +\dfrac{1}{log_{a_{2014}}(a_{2014}a_1)}<$

$\dfrac{1}{log_{A_1}A}+\dfrac{1}{log_{A_2}A}+\ldots +\dfrac{1}{log_{A_{2014}}A}$



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 2011/2012 III. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20112012_3k1f4f )

Az iskolában a kisdiák Sziszüphosz szorgalmát piros, kék és zöld pontokkal jutalmaz- zák. Három összegyűjtött piros pont beváltható egy kék pontra, három kék pont egy zöld pontra cserélhető be, és végül három zöld pontért ismét egy piros pont jár. Sziszüphosznak az év végén mindhárom színből 2011-2011 pontja van. Ezeket addig cserélgeti, amíg mind- egyikből legfeljebb két pontja marad. Hány piros, kék és zöld pontja lehet Sziszüphosznak a cserék elvégzése után?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 2022/2023 III. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20222023_3kdf2f )

Legyen $ a_0 $ tetszőleges egész szám és tekintsük az $ a_{n+1} = a^2_n + 1 (n\ge 0) $ rekurzióval definiált sorozatot. Mutassuk meg, hogy az $ a_1 , a_2 , \ldots $ számoknak együttvéve végtelen sok különböző prímosztója van.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 2015/2016 III. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20152016_3k1f3f )

Adott a síkon két kör egymás külsejében, sugaraik r és R. Egy egyenlő szárú háromszög alapja az egyik külső közös érintőszakaszon fekszik, szemközti csúcsa a másik külső közös érintőszakaszra illeszkedik, szárai pedig érintenek egyet-egyet a körök közül. Igazoljuk, hogy a háromszögnek az alaphoz tartozó magassága r + R.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2012/2013 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20122013_2k2f2f )

Egy 10 egység oldalú szabályos háromszöget az oldalaival párhuzamos egyenesekkel egységnyi oldalú szabályos háromszögekre bontottunk fel. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek csúcsai a létrejött szabályos háromszög-rács rácspontjai?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20082009_2k2f3f )

Egy 1 milliárd lakosú országban egy olcsó AIDS teszt bevezetését tervezik. Tudjuk, hogy kb. minden ezredik ember fertőzött. Kiderült, hogy a betegek 99,9%-ánál pozitív, viszont sajnos az egészségesek 0,1%-ánál is pozitív eredményt ad a teszt. Ilyen paraméterek mellett elvetették a használatát. Egy matematikus azt javasolta, hogy végezzék el kétszer egymás után a vizsgálatot és ha mindkettő pozitív, csak akkor küldjék orvoshoz a pácienst. Így már bevezethető lett a teszt. A következő két kérdéssel arra keressük a választ, mi ennek a magyarázata.

a) Számítsuk ki mennyi a valószínűsége, hogy beteg valaki, ha az első teszt pozitív.

b) Számítsuk ki mennyi a valószínűsége, hogy beteg valaki, ha mind a két teszt pozitív.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2016/2017 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20162017_1k1f2f )

Oldja meg a valós számpárok halmazán az

$ 5x+8\sqrt{xy}+5y=113$

$\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)=56$

egyenletrendszert!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2020/2021 III. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20202021_3k1f1f )

Mely $ n\ge 0 $ egészekre lesz $ 625^n+4^{2n+1} prímszám?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2010/2011 2. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20102011_2k1f4f )

Adott a síkon egy $ O $ pont és a belőle induló két félegyenes, melyek hegyesszöget zárnak be. A sík egy $ P $ pontjának a félegyenesekre eső merőleges vetületei a félegyenesek belsejébe eső $ P_1 $ és $ P_2 $ pontok. Határozzuk meg azon $ P $ pontok halmazát (mértani helyét), amelyekre $ P_1 P_2 $ szakasz hossza állandó.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2021/2022 III. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20212022_3kdf1f )

Egy körben válasszunk ki véges sok húrt, és színezzük őket pirosra vagy kékre olyan módon, hogy a kör bármelyik pontjába ugyanannyi piros húr fusson be, mint kék. Legyen P a kör egy tetszőleges pontja, és tekintsük P -nek a húrok egyeneseitől mért távolságait. Bizonyítsuk be, hogy a pirosakhoz tartozó távolságok szorzata egyenlő a kékekhez tartozók szorzatával.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2007/2008 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20072008_2kdf2f )

Az $ ABC $ háromszög $ BC $ oldalának felező pontja $ D $. Az $ ABD $ és $ ADC $ háromszögek köré írt körök középpontjai rendre $ E $ és $ F $ . A $ BE $ és

$ CF $ egyenesek metszéspontja $ G $. Tudjuk, hogy $ BC=2DG=2008 $ és $ EF = 1255 $ egység. Mekkora az $ AEF $ háromszög területe?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2012/2013 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20122013_1k1f2f )

Elhelyezhető-e a térben 11 pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma 53 legyen? Lehet-e a 11 pont által meghatározott egyenesek száma 54? Állítását indokolja!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2013/2014 I. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria (szélsőérték)   (Azonosító: OKTV_20132014_1k1f4f )

Az $ABC$ háromszögben $BC=a,CA=b,AB=c$ hosszúságú, és az oldalakta teljesül, hogy $a^3+b^3=c^3$. Bizonyítsa be, hogy $ 60^o < BCA \angle < 90^o$



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2013/2014 III. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Számelmélet (algebra, oszthatóság)   (Azonosító: OKTV_20132014_3k1f2f )

Hány N pozitív egészre teljesül, hogy N/5 egy egész szám hetedik, N/7 pedig egy egész szám ötödik hatványa?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 20202021 II. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20202021_2k2f3f )

Egy hat pontú teljes gráf minden élét három szín (piros, kék, zöld) valamelyikével színezzük. Tekintsük először a hat pontot és csak a piros éleket. Ezen gráf legtöbb pontot tartalmazó komponensében, azaz összefüggő részében, a pontok számát jelölje $ p $. Hasonlóan kapjuk a $ k $ és $ z $ számokat a másik két színt tekintve. Például, ha a csúcsok $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ és minden $ A $-ból induló él piros, a $ BC $ és $ DE $ él kék, a többi pedig zöld, akkor $ p = 6 $, $ k = 2 $, $ z = 5 $.
a) Lehet-e, hogy $ p = k = z = 6 $?
b) Keressünk olyan színezést, amelyre $ M = max(p, k, z) $ a lehető legkisebb.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2021/2022 I. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20212022_1kdf1f )

Hány olyan pozitív, tizenegyjegyű kettes számrendszerbeli szám van, amelyben nincs két egymás melletti 0 számjegy?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20102011_3k1f3f )

Keresse meg az összes olyan $ p $ prímszámot, melyhez léteznek olyan $ a, b, c $ egész számok, hogy $ a^2 + b^2 + c^2 = p $ és $ (a^4 + b^4 + c^4) $ osztható $ p $-vel.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_2k2f2f )

Határozzuk meg a következő egyenlet valós megoldásait. ([y] az y valós szám egész részét jelöli.)

$\left[\dfrac{ x}{2 }\right] -\left[\dfrac{ x}{3 }\right]=\dfrac{x}{7}$

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2013/2014 III. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség)   (Azonosító: OKTV_20132014_3kdf2f )

A p sé q pozitív számokra $p+q\le 1$. Igazoljuk, hogy bármely m, n pozitív egészekre

$\left ( 1-p^m \right ) ^n + \left ( 1-q^n \right ) ^m \ge 1$



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 20172018 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20172018_2k2f2f )

Milyen számjegy áll az N szám tizedestört alakjában a tizedesvessző utáni 2018. helyen?

$N=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\ldots+\dfrac{2017}{2018!}$

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 

 

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

HivatalosHonlap Matkonyv InformatikaPortal KemiaPortal  
FizikaPortal KulturtortenetiEnciklopedia AlsosPortal TortenelemFilozofia
BiologiaPortal BiologiaPortal MagyarPortal MagyarPortal
  BiologiaPortal MagyarPortal  

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak