Legyenek A, B és C pozitív egész számok, melyekre $A^2 + B^2 + C$ osztható AB-vel. Definiáljuk az an sorozatot az

$a_1=A,\quad a_2=B,\quad a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+C}{a_{n-1}}\quad (n\ge2)$

rekurzióval. Bizonyítsuk be, hogy $a_n$ minden n-re egész szám

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB = c $ átfogójához tartozó magasságának talppontja $ D $, a $ BCD $ és $ ADC $ háromszögekbe írható körök sugara rendre $ r_1 $ és $ r_2 $, továbbá az $ABC$ háromszög területe $ T $. Bizonyítsa be, hogy

$ r_1+r_2+\sqrt{2T}\le c $

Mekkorák a hegyesszögei annak a háromszögnek, amelyben az egyenlőség áll fenn?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy számsorozatot a következő módon képezünk: legyen $a_1=1 $ és $a_2=2 $, a sorozat további tagjai pedig tegyenek eleget az

$a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}-1\qquad (n\ge2) $

összefüggésnek. Mennyi a sorozat első 2011 tagjának az összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Meg lehet-e számozni egy kocka csúcsait az 1 , 2 ,..., 7, 8 számokkal úgy, hogy minden csúcshoz különböző szám tartozzon, és bármelyik él két végpontjára írt számok összege is egymástól különböző legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszögben $ ACB \sphericalangle=90^\circ $, a $ C $-hez tartozó magasság talppontja az $ AB $ oldalon $ T $. Legyen az $ AB $ oldalt, a $ CT $ magasságot és az $ ABC $ köré írt kör $ C $-t tartalmazó $ AB $ ívét belülről érintő két kör középpontja $ P $ és $ Q $. Bizonyítsuk be, hogy $ PQ $ felezőpontja az $ ABC $ beírt körének középpontja.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a síkban egy 20 oldalú konvex sokszög, melynek csúcsai rendre $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $. Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek csúcsai a húszszög csúcsai közül kerülnek ki. Az így kapott négyszögek között hány olyan van, amelynek nincs közös oldala az $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $ húszszög oldalaival? (Két négyszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igaz-e, hogy 50 pozitív egész szám közül mindig ki lehet választani 8-at úgy, hogy a kiválasztottak közül bármely két szám különbsége osztható legyen 7-tel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ABCD$ négyszög mind a négy csúcsa egy körön helyezkedik el. Tudjuk, hogy $DAB\sphericalangle = 135^\circ$ , továbbá az $AC$ és $BD$ átlók merőlegesek egymásra. Igazoljuk, hogy az átlók metszéspontja két olyan szakaszra osztja az $AC$ átlót, amelyek hosszának a különbsége megegyezik a másik átló hosszával.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféleképpen írhatjuk be az ábrán látható négyzetekbe az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokat úgy,

hogy a szomszédos négyzetekbe írt számok különbsége ne legyen 3? (Szomszédosnak tekintünk két négyzetet, ha van közös oldaluk.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely $ n\ge 0 $ egészekre lesz $ 625^n+4^{2n+1} prímszám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $k_1$, $k_2$, $k_3$ köröknek páronként két metszéspontja van. Bármelyik két kört tekintve, metszéspontjaik közül az egyik a harmadik belsejében, a másik azon kívül van.

a) Mekkora a körök által kétszeresen fedett terület, ha a körök területeinek összege $ 3\,cm^2$ , az általuk összesen lefedett terület $ 2\,cm^2$ és a háromszorosan lefedett terület pedig $ 0,2\,cm^2$?

b) A legalább kétszeresen lefedett terület egy síkidom, melyet 6 ív határol. Ezt a hat ívet felváltva pirossal és zölddel színezzük. Igazoljuk, hogy amennyiben a körök sugarai ugyanakkorák, akkor a piros ívek hosszának összege ugyanannyi, mint a zöldeké.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két egybevágó négyzetbe belerajzoltuk egy-egy négyzet alapú gúla hálóját a mellékelt ábrák szerint. Mindkét gúla rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy éleinek hossza egyenlő. Mekkora a két gúla térfogatának aránya?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan ötjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melyben a jegyek szorzata 50-re végződik?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $ p $ valós paraméter mely értékei esetén van az alábbi egyenletnek valós megoldása?

$ \sin^4 x + \cos^4 x + p(\sin^6 x + \cos^6 x) = 1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg az összes olyan háromszöget, amelynek egyik oldala 10 egység hosszúságú, és a szögei számtani sorozatot alkotnak, az oldalai pedig

a) számtani

b) mértani sorozatot alkotnak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy 55 darab egymást követő egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan pozitív egész szám van, amely nem eleme az

$f(x)=\sqrt{x^3-x^2-2x} $

függvény értelmezési tartományának?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

$x^2+4\left ( \dfrac{x}{x-2} \right ) ^2 = 45$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójának felezőpontja $ D $, továbbá az $ E $ az $ AC $, az $ F $ pedig a $ BC $ befogó egy-egy belső pontja úgy, hogy $ EDF\sphericalangle = 90^\circ $ teljesül. Bizonyítsa be, hogy $ EF = AE^2 + BF^ 2 $ .

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kiválasztjuk véletlenszerűen a 8x8-as sakktábla két különböző mezőjét és megjelöljük a középpontjukat. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a kijelölt középpontokat összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontja legyen.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egységnyi oldalú négyzet csúcsai $A;B;C;D$., Az $AB$ oldal tetszőleges pontja $P$. A $Q$ pont a $BC$ oldaon van, és $PDQ = 45^o$. Mekkora a $PBQ$ háromszög kerülete?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ C $ csúcsából induló magasságának talppontja az A$ $B átfogón $ D $. A $ B $ csúcsból induló szögfelelző a $ CD $magasságot az $ E $, az $ AC $befogót az $ F $ pontban metszi. Igazoljuk, hogy $ AD > 2 $ · EF .

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az n pozitív egész számnak pontosan két pozitív osztója van, az n+1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van a n+2012 számnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be, hogy minden x valós szám esetén $ 2|\sin x| + 3|\cos x|\ge 2  $! Mikor áll fenn egyenlőség?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ f (x) = 2 $, ha $ x \ge 0 $, és $ f (x) = 1 $, ha $ x < 0 $. Legyen továbbá $ g(x) = f (x)/f (x − 1) $, és végül

$ h(x) = g(x) + 2 g(x/2) + 3 g(x/3) + . . . + 2008 g(x/2008). $

Számítsuk ki $ h(\pi) $-t.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Palkó uzsonnára palacsintát készített barátainak. Az asztalon három tálon van palacsinta. Az elsőn 8 darab túrós, 6 darab diós, és 10 darab lekváros van, a másodikon 12 darab túrós, 10 darab diós, és 8 darab lekváros, a harmadikon 8 darab diós, 12 darab lekváros és néhány túrós.

a) Palkó egyik barátja, Peti, véletlenszerűen vett mindegyik tálról egy-egy palacsintát. Tudjuk, hogy a Peti által választott három palacsinta 25 3 valószínűséggel volt azonos ízesítésű. Hány túrós palacsinta volt a harmadik tálon?

b) A harmadik tálon levő túrós palacsinták számától függően milyen határok közt változhat annak a valószínűsége, hogy Peti három azonos ízesítésű palacsintát vett ki? (Feltesszük, hogy a házigazda csak a harmadik tálon lévő túrós palacsinták számát változtatja.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy pozitív egész $ n $ számot teljes hatványnak hívunk, ha $ n = a^ b $ valamely $ a \ge 1 $, $ b \ge 2 $ egészekre. Nevezzük a pozitív egész $ n $ számot majdnem teljes hatványnak, ha $ n $ mindegyik $ p $ prímosztójára $ n/p $ teljes hatvány. Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek létezik majdnem teljes hatvány többszöröse?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számítsuk ki a következő összeg értékét:

$N=1\cdot 3-5\cdot 7+9\cdot 11-13\cdot 15+ \ldots -197\cdot 199+201\cdot 203$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az összes olyan parabolát, amelynek egyenlete $y=x^2+ax+b$, ahol a és b valós számok, továbbá a  koordinátatengelyeket három különböző pontban metszik. Bármely parabola esetén ez a három pont meghatároz egy kört. Mutassuk meg, hogy az összes ilyen kör átmegy egy közös ponton.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba