Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

Látogatók

Összes:
4 948 338

Mai:
2 883

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium
vpg

fb kereses

Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV)

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 510 (listázott találatok: 1 ... 30)

1. találat: OKTV 2017/2018 III. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra ( rekurzív sorozat)   (Azonosító: OKTV_20172018_3k1f3f )

Legyenek A, B és C pozitív egész számok, melyekre $A^2 + B^2 + C$ osztható AB-vel. Definiáljuk az an sorozatot az

$a_1=A,\quad a_2=B,\quad a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+C}{a_{n-1}}\quad (n\ge2)$

rekurzióval. Bizonyítsuk be, hogy $a_n$ minden n-re egész szám



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 20202021 I. kategória 2. forduló 5. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20202021_1k2f5 )

Legyen az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB = c $ átfogójához tartozó magasságának talppontja $ D $, a $ BCD $ és $ ADC $ háromszögekbe írható körök sugara rendre $ r_1 $ és $ r_2 $, továbbá az $ABC$ háromszög területe $ T $. Bizonyítsa be, hogy

$ r_1+r_2+\sqrt{2T}\le c $

Mekkorák a hegyesszögei annak a háromszögnek, amelyben az egyenlőség áll fenn?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 2011/2012 I. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20112012_1k1f2f )

Egy számsorozatot a következő módon képezünk: legyen $a_1=1 $ és $a_2=2 $, a sorozat további tagjai pedig tegyenek eleget az

$a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}-1\qquad (n\ge2) $

összefüggésnek. Mennyi a sorozat első 2011 tagjának az összege?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 2012/2013 I. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20122013_1k2f4f )

Meg lehet-e számozni egy kocka csúcsait az 1 , 2 ,..., 7, 8 számokkal úgy, hogy minden csúcshoz különböző szám tartozzon, és bármelyik él két végpontjára írt számok összege is egymástól különböző legyen?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 2021/2022 II. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20212022_2kdf2f )

Az $ ABC $ háromszögben $ ACB \sphericalangle=90^\circ $, a $ C $-hez tartozó magasság talppontja az $ AB $ oldalon $ T $. Legyen az $ AB $ oldalt, a $ CT $ magasságot és az $ ABC $ köré írt kör $ C $-t tartalmazó $ AB $ ívét belülről érintő két kör középpontja $ P $ és $ Q $. Bizonyítsuk be, hogy $ PQ $ felezőpontja az $ ABC $ beírt körének középpontja.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 2022/2023 I. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20222023_1kdf1f )

Adott a síkban egy 20 oldalú konvex sokszög, melynek csúcsai rendre $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $. Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek csúcsai a húszszög csúcsai közül kerülnek ki. Az így kapott négyszögek között hány olyan van, amelynek nincs közös oldala az $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $ húszszög oldalaival? (Két négyszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 20172018 I. kategória 1. forduló 4 feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20172018_1k1f4f )

Igaz-e, hogy 50 pozitív egész szám közül mindig ki lehet választani 8-at úgy, hogy a kiválasztottak közül bármely két szám különbsége osztható legyen 7-tel?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 20192020 II. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20192020_2k1f4f )

Az $ABCD$ négyszög mind a négy csúcsa egy körön helyezkedik el. Tudjuk, hogy $DAB\sphericalangle = 135^\circ$ , továbbá az $AC$ és $BD$ átlók merőlegesek egymásra. Igazoljuk, hogy az átlók metszéspontja két olyan szakaszra osztja az $AC$ átlót, amelyek hosszának a különbsége megegyezik a másik átló hosszával.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 2014/2015 I. kategória 1. forduló 6. feladat
Témakör: *Logika (táblázat)   (Azonosító: OKTV_20142015_1k1f6f )

Hányféleképpen írhatjuk be az ábrán látható négyzetekbe az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokat úgy,

oktv1415 1kat 1ford f6 001hogy a szomszédos négyzetekbe írt számok különbsége ne legyen 3? (Szomszédosnak tekintünk két négyzetet, ha van közös oldaluk.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 2020/2021 III. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20202021_3k1f1f )

Mely $ n\ge 0 $ egészekre lesz $ 625^n+4^{2n+1} prímszám?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 20192020 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20192020_2k1f1f )

A $k_1$, $k_2$, $k_3$ köröknek páronként két metszéspontja van. Bármelyik két kört tekintve, metszéspontjaik közül az egyik a harmadik belsejében, a másik azon kívül van.

a) Mekkora a körök által kétszeresen fedett terület, ha a körök területeinek összege $ 3\,cm^2$ , az általuk összesen lefedett terület $ 2\,cm^2$ és a háromszorosan lefedett terület pedig $ 0,2\,cm^2$?

b) A legalább kétszeresen lefedett terület egy síkidom, melyet 6 ív határol. Ezt a hat ívet felváltva pirossal és zölddel színezzük. Igazoljuk, hogy amennyiben a körök sugarai ugyanakkorák, akkor a piros ívek hosszának összege ugyanannyi, mint a zöldeké.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 20212022 I. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20212022_1k2f4f )

Két egybevágó négyzetbe belerajzoltuk egy-egy négyzet alapú gúla hálóját a mellékelt ábrák szerint. Mindkét gúla rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy éleinek hossza egyenlő. Mekkora a két gúla térfogatának aránya?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 2013/2014 II. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Kombinatorika (szám, darab)   (Azonosító: OKTV_20132014_2k1f3f )

Hány olyan ötjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melyben a jegyek szorzata 50-re végződik?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 20222023 II. kategória 1. forduló 4. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20222023_2k1f4f )

A $ p $ valós paraméter mely értékei esetén van az alábbi egyenletnek valós megoldása?

$ \sin^4 x + \cos^4 x + p(\sin^6 x + \cos^6 x) = 1 $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2017/2018 I. kategória döntő 2. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20172018_1kdf2f )

Adja meg az összes olyan háromszöget, amelynek egyik oldala 10 egység hosszúságú, és a szögei számtani sorozatot alkotnak, az oldalai pedig

a) számtani

b) mértani sorozatot alkotnak.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2009/2010 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20092010_2k2f2f )

Bizonyítsuk be, hogy 55 darab egymást követő egész szám négyzetének összege nem lehet négyzetszám.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 20202021 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20202021_2k1f1f )

Hány olyan pozitív egész szám van, amely nem eleme az

$f(x)=\sqrt{x^3-x^2-2x} $

függvény értelmezési tartományának?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2013/2014 II. kategória 2. forduló 2. feladat
Témakör: *Algebra (negyedfokú)   (Azonosító: OKTV_20132014_2k2f2f )

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

$x^2+4\left ( \dfrac{x}{x-2} \right ) ^2 = 45$



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20082009_1k2f4f )

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 20222023 I. kategória 2. forduló 4. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20222023_1k2f4f )

Legyen az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójának felezőpontja $ D $, továbbá az $ E $ az $ AC $, az $ F $ pedig a $ BC $ befogó egy-egy belső pontja úgy, hogy $ EDF\sphericalangle = 90^\circ $ teljesül. Bizonyítsa be, hogy $ EF = AE^2 + BF^ 2 $ .



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2016/2017 II. kategória 1. forduló 2. feladat
Témakör: *Kombinatorika   (Azonosító: OKTV_20162017_2k1f2f )

Kiválasztjuk véletlenszerűen a 8x8-as sakktábla két különböző mezőjét és megjelöljük a középpontjukat. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a kijelölt középpontokat összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontja legyen.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2013/2014 I. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Geometria (terület)   (Azonosító: OKTV_20132014_1k1f5f )

Egy egységnyi oldalú négyzet csúcsai $A;B;C;D$., Az $AB$ oldal tetszőleges pontja $P$. A $Q$ pont a $BC$ oldaon van, és $PDQ = 45^o$. Mekkora a $PBQ$ háromszög kerülete?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2010/2011 3. kategória döntő 1. feladat
Témakör: *Geometria   (Azonosító: OKTV_20102011_3kdf1f )

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ C $ csúcsából induló magasságának talppontja az A$ $B átfogón $ D $. A $ B $ csúcsból induló szögfelelző a $ CD $magasságot az $ E $, az $ AC $befogót az $ F $ pontban metszi. Igazoljuk, hogy $ AD > 2 $ · EF .



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2012/2013 I. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20122013_1k1f1f )

Az n pozitív egész számnak pontosan két pozitív osztója van, az n+1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van a n+2012 számnak?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2015/2016 I. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20152016_1k2f3f )

Bizonyítsa be, hogy minden x valós szám esetén $ 2|\sin x| + 3|\cos x|\ge 2  $! Mikor áll fenn egyenlőség?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20082009_3k1f1f )

Legyen $ f (x) = 2 $, ha $ x \ge 0 $, és $ f (x) = 1 $, ha $ x < 0 $. Legyen továbbá $ g(x) = f (x)/f (x − 1) $, és végül

$ h(x) = g(x) + 2 g(x/2) + 3 g(x/3) + . . . + 2008 g(x/2008). $

Számítsuk ki $ h(\pi) $-t.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2009/2010 I. kategória 1. forduló 5. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20092010_1k1f5f )

Palkó uzsonnára palacsintát készített barátainak. Az asztalon három tálon van palacsinta. Az elsőn 8 darab túrós, 6 darab diós, és 10 darab lekváros van, a másodikon 12 darab túrós, 10 darab diós, és 8 darab lekváros, a harmadikon 8 darab diós, 12 darab lekváros és néhány túrós.

a) Palkó egyik barátja, Peti, véletlenszerűen vett mindegyik tálról egy-egy palacsintát. Tudjuk, hogy a Peti által választott három palacsinta 25 3 valószínűséggel volt azonos ízesítésű. Hány túrós palacsinta volt a harmadik tálon?

b) A harmadik tálon levő túrós palacsinták számától függően milyen határok közt változhat annak a valószínűsége, hogy Peti három azonos ízesítésű palacsintát vett ki? (Feltesszük, hogy a házigazda csak a harmadik tálon lévő túrós palacsinták számát változtatja.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2021/2022 III. kategória 1. forduló 3. feladat
Témakör: *Számelmélet   (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f3f )

Egy pozitív egész $ n $ számot teljes hatványnak hívunk, ha $ n = a^ b $ valamely $ a \ge 1 $, $ b \ge 2 $ egészekre. Nevezzük a pozitív egész $ n $ számot majdnem teljes hatványnak, ha $ n $ mindegyik $ p $ prímosztójára $ n/p $ teljes hatvány. Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek létezik majdnem teljes hatvány többszöröse?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 20172018 II. kategória 1. forduló 1. feladat
Témakör: *Algebra   (Azonosító: OKTV_20172018_2k1f1f )

Számítsuk ki a következő összeg értékét:

$N=1\cdot 3-5\cdot 7+9\cdot 11-13\cdot 15+ \ldots -197\cdot 199+201\cdot 203$

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2013/2014 II. kategória 2. forduló 3. feladat
Témakör: *Koordináta geometria (parabola, kör)   (Azonosító: OKTV_20132014_2k2f3f )

Tekintsük az összes olyan parabolát, amelynek egyenlete $y=x^2+ax+b$, ahol a és b valós számok, továbbá a  koordinátatengelyeket három különböző pontban metszik. Bármely parabola esetén ez a három pont meghatároz egy kört. Mutassuk meg, hogy az összes ilyen kör átmegy egy közös ponton.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 

 

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

HivatalosHonlap Matkonyv InformatikaPortal KemiaPortal  
FizikaPortal KulturtortenetiEnciklopedia AlsosPortal TortenelemFilozofia
BiologiaPortal BiologiaPortal MagyarPortal MagyarPortal
  BiologiaPortal MagyarPortal  

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak