


1. találat: Matematika középszintű érettségi, 2023. május II. rész, 17. feladat Témakör: *Geometria (Azonosító: mmk_202305_2r17f ) Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú. a) Igazolja, hogy a trapéz $ A $ csúcsánál lévő belső szög $ 60^\circ$-os! b) Számítsa ki a $ BD $ átló hosszát! A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. c) Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát! Egy trapéz alakú területre szőlőt telepítettek, az első sorba 120 szőlőtőkét, az utolsóba 240-et. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több szőlőtőke került, mint az előzőbe. Összesen 7380 darab szőlőtőkét ültettek el. d) Az első 20 sorba kizárólag olaszrizlingtőke került, és máshova ebből a fajtából nem ültettek. Számítsa ki a telepített olaszrizlingtőkék számát! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201210_2r06f ) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulátorral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja mindig $ 95,5\% $-a az $ (n – 1) $-edik órában megtett útjának ( $ n\in\mathbb{N}; n > 1 $). a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámították, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 20 km-t megtesz. b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni? A "Végkimerülés" kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel. c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a "Végkimerülés" kategóriában? Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202105_2r18f ) Az ábrán szereplő $ A, B, C, D $ és $ E $ pontok egy olyan egyenesre illeszkednek, amely párhuzamos az $ F $ és $ G $ pontokra illeszkedő egyenessel. a) Hány olyan különböző egyenes létezik, amely az ábrán lévő pontok közül legalább kettőre illeszkedik? Témakör: *Sorozatok (Azonosító: mmk_201110_1r08f ) Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 29, az ötvenegyedik tagja 26. Számítsa ki a sorozat első tagját! Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201810_2r16f ) Az edzésen megsérült Cili térde, ezért megműtötték. A műtét utáni naptól kezdve rendszeres napi sétát írt elő neki a gyógytornász. Cili az első nap csak 20 métert sétált, majd minden nap 15 százalékkal nagyobb távot tett meg, mint az előző napon. a) Egyik nap séta közben ezt mondta Cili: „A mai napon már 1000 métert sétáltam!” Hányadik napon mondhatta ezt először? Cili – hogy segítse szervezete regenerálódását – vitamincseppeket szed. Naponta $ 2\times 25 $ csepp az adagja. Körülbelül 20 csepp folyadék térfogata 1 milliliter. A folyadék milliliterenként 100 milligramm hatóanyagot tartalmaz. b) Hány milligramm hatóanyagot kap naponta Cili cseppek formájában? A vitaminoldatot olyan üvegben árulják, amely két henger alakú és egy csonkakúp alakú részből áll. A folyadék a csonkakúp alakú rész fedőlapjáig ér. Az üveg belső méreteit az ábra mutatja. A nagyobb henger átmérője 3 cm, magassága 7 cm. A csonkakúp fedőlapjának átmérője 1 cm, alkotója 2 cm hosszú. c) Hány napig elegendő Cilinek az üvegben lévő vitaminoldat, ha mindig az előírt adagban szedi? Témakör: *Függvények ( abszolútérték, paraméter) (Azonosító: mmk_201110_1r05f ) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett $f(x)= \left | x+a \right |+b$ függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét!
Témakör: *Függvények (függvény) (Azonosító: mmk_201610_1r02f ) Melyik számot rendeli az $x \mapsto \sqrt[3]{4x-1};\quad(x\in \mathbb{R})$ függvény a 7-hez? Témakör: *Halmazok (Venn-diagram, statisztika, logika) (Azonosító: mmk_201310_2r15f ) Egy végzős osztály diákjai projektmunka keretében különböző statisztikai felméréseket készítettek az iskola tanulóinak körében. a) Éva 150 diákot kérdezett meg otthonuk felszereltségéről. Felméréséből kiderült, hogy a megkérdezettek közül kétszer annyian rendelkeznek mikrohullámú sütővel, mint mosogatógéppel. Azt is megtudta, hogy 63-an mindkét géppel, 9-en egyik géppel sem rendelkeznek. A megkérdezettek hány százalékának nincs otthon mikrohullámú sütője? b) Jóska a saját felmérésében 200 diákot kérdezett meg arról, hogy hány számítógépük van a háztartásban. A válaszokat a következő táblázatban összesítette:
Jóska felmérése alapján töltse ki az alábbi táblázatot az egy háztartásban található számítógépek számáról!
c) Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja: Minden háztartásban van televízió. Az alábbi négy állítás közül válassza ki azt a kettőt, amely Tamás állításának tagadása! A) Semelyik háztartásban nincs televízió. B) Van olyan háztartás, ahol van televízió. C) Van olyan háztartás, ahol nincs televízió. D) Nem minden háztartásban van televízió. Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202105_1r07f ) Ha egy egészségpénztári számlára befizetünk egy összeget, akkor abból először levonnak 6% működési költséget, és a fennmaradó összeget írják jóvá a számlán. Hány forintot írnak jóvá a számlán 150 000 Ft befizetése esetén? Témakör: *Koordinátageometria (skaláris szorzat, koszinusztétel) (Azonosító: mmk_201210_2r13f ) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(–2; –1), B(9; –3) és C(–3; 6). a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201110_2r05f ) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a $ P(2; 5) $ pontra, valamint az $ x + y = 4 $ és az $ x + y = 6 $ egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége 3. Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202005_2r13f ) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! $ \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=2 $ Legyenek $ f $, $ g $ és $ h $ függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy $ f(x)=x-1,\qquad g(x)=2^x,\qquad h(x)=|x|-3$ b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (-2)-höz (-1)-et rendel! Témakör: *Valószínűségszámítás (kombinatorika) (Azonosító: mmk_201310_2r18f ) a) Egy memóriajáték 30 olyan egyforma méretű lapból áll, melyek egyik oldalán egy-egy egész szám áll az 1, 2, 3, … 14, 15 számok közül. Mindegyik szám pontosan két lapon szerepel. A lapok másik oldala (a hátoldala) teljesen azonos mintázatú. A 30 lapot összekeverjük. A játék kezdetén a lapokat az asztalra helyezzük egymás mellé, hátoldalukkal felfelé fordítva, így a számok nem látszanak. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a játék kezdetén két lapot véletlenszerűen kiválasztva a lapokon álló számok megegyeznek! b) Egy dominókészlet azonos méretű kövekből áll. Minden dominókő egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma kő nem lehet egy készletben. Az ábrán két kő látható: a 4-4-es és a 0-5-ös (vagy 5-0-ás). Hány kőből áll egy dominókészlet?
c) A „Ki nevet a végén?” nevű társasjátékban egy játékos akkor indulhat el a pályán, amikor egy szabályos dobókockával 6-ost dob. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy valaki pontosan a harmadik dobására indulhat el a pályán! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_202005_1r04f ) Adott az $ x^2 - (4 p + 1) x + 2 p = 0 $ másodfokú egyenlet, ahol $ p $ valós paraméter. a) Igazolja, hogy bármely valós $ p $ érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van! Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201010_1r10f ) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maximuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maximumhelyét is! Témakör: *Algebra ( abszolútérték) (Azonosító: mmk_201105_1r10f ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! $|x-2|=7$ Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201505_1r04f ) Az $x^2+bx-10=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa 49. Számítsa ki b értékét! Számítását részletezze! Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201810_1r02f ) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! $ 25\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^x-50\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+1}+30\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+2}=81$ b) Igazolja, hogy $\dfrac{\lg 5^x+\lg 5^{-x}}{2}\le \lg \dfrac{5^x+5^{-x}}{2}\ (x\in\mathbb{R}) $ Témakör: *Geometria (Azonosító: mme_201105_2r08f ) Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve 2-nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestettük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan 1 cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 28 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata? Témakör: *Algebra (trigonometria) (Azonosító: mmk_201605_1r11f ) Oldja meg a $\sin x=1$ egyenletet a valós számok halmazán! Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mmk_201005_1r08f ) Az alábbi kilenc szám közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám nem negatív? -3,5; -5; 6; 8,4; 0; -2,5; 4; 12; -11. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mme_202005_2r09f ) Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek). Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202205_1r01f ) Az $ A $ és $ B $ halmazokról tudjuk, hogy $ A = \{2; 3; 5\} $, $ A \cap B = \{2; 3\} $, $ A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5\} $. Elemei felsorolásával adja meg a $ B $\ halmazt! Témakör: *Algebra (geometria, szélsőérték, derivált, differenciál, szöveges egyenlet,) (Azonosító: mme_201610_2r08f ) Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt. a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban? Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradványai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig $ \alpha $; $ 0<\alpha<2\pi $.) b) Hogyan kell megválasztani az $ \alpha $ szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület? Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_201110_1r01f ) Kinga 10. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 10. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Ft-tal többet adnak, mint az azt megelőző hónapban. Egy bizonyos hónapban, mikor éppen 1850 Ft volt a havi zsebpénze, összeadta az addig kapott összes zsebpénzét. Az összeg 35100 Ft lett. Mennyi volt Kinga induló zsebpénze, és hány hónap telt el a 10. születésnapja óta? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: mmk_201010_2r15f ) Egy kockajátékban egy menet abból áll, hogy szabályos dobókockával kétszer dobunk egymás után. Egy dobás 1 pontot ér, ha négyest, vagy ötöst dobunk, egyébként a dobásért nem jár pont. A menetet úgy pontozzák, hogy a két dobásért járó pontszámot összeadják. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy menetben 1 pontot szerzünk, és azt az első dobásért kapjuk? b) Minek nagyobb a valószínűsége, - annak, hogy egy menetben szerzünk pontot, vagy - annak, hogy egy menetben nem szerzünk pontot? Témakör: *Algebra (Azonosító: mme_202205_2r06f ) Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben $ A(0; 0) $, $ B(82; 0) $ és $ C(41; 71) $. Géza szerint ez a háromszög szabályos. Témakör: *Valószínűségszámítás (kombináció, kombinatorika) (Azonosító: mmk_201605_1r12f ) Az osztály lottót szervez, melyben az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül húznak ki hármat. Tamás a 2, 3, 5 számokat jelöli be a szelvényen. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Tamásnak telitalálata lesz! Számítását részletezze! Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_201710_1r03f ) Adja meg x értékét, ha $ 5^x=\left(5^2\cdot 5\cdot 5^4\right)^3 $ Témakör: *Algebra (Azonosító: mmk_202010_1r10f ) Adott a $ \left[ –2; 2 \right] $ zárt intervallumon értelmezett $ x \rightarrow x^2 - 1 $ függvény.
|
||||||||||||||||||
|