Az $ ABCD $ trapéz $ AB $ alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú.

a) Igazolja, hogy a trapéz $ A $ csúcsánál lévő belső szög $ 60^\circ$-os! 

b) Számítsa ki a $ BD $ átló hosszát!

A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.

c) Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát!

Egy trapéz alakú területre szőlőt telepítettek, az első sorba 120 szőlőtőkét, az utolsóba 240-et. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több szőlőtőke került, mint az előzőbe. Összesen 7380 darab szőlőtőkét ültettek el.

d) Az első 20 sorba kizárólag olaszrizlingtőke került, és máshova ebből a fajtából nem ültettek. Számítsa ki a telepített olaszrizlingtőkék számát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulátorral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja mindig $ 95,5\% $-a az $ (n – 1) $-edik órában megtett útjának ( $ n\in\mathbb{N}; n > 1 $).

a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!

A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámították, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 20 km-t megtesz.

b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni?

A "Végkimerülés" kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel.

c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a "Végkimerülés" kategóriában?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ábrán szereplő $ A, B, C, D $ és $ E $ pontok egy olyan egyenesre illeszkednek, amely párhuzamos az $ F $ és $ G $ pontokra illeszkedő egyenessel.

a) Hány olyan különböző egyenes létezik, amely az ábrán lévő pontok közül legalább kettőre illeszkedik?
b) Hány olyan háromszög van, amelynek a csúcsait az ábrán szereplő 7 pont közül választjuk ki? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik csúcsukban eltérnek egymástól.)
Egy háromszög csúcsai: $ K(– 1; 5) $, $ L(1; 1) $, $ M(5; 3) $.
c) Igazolja, hogy a háromszög L-nél lévő szöge derékszög!
d) Írja fel a háromszög körülírt körének az egyenletét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 29, az ötvenegyedik tagja 26. Számítsa ki a sorozat első tagját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az edzésen megsérült Cili térde, ezért megműtötték. A műtét utáni naptól kezdve rendszeres napi sétát írt elő neki a gyógytornász. Cili az első nap csak 20 métert sétált, majd minden nap 15 százalékkal nagyobb távot tett meg, mint az előző napon.

a) Egyik nap séta közben ezt mondta Cili: „A mai napon már 1000 métert sétáltam!” Hányadik napon mondhatta ezt először?

Cili – hogy segítse szervezete regenerálódását – vitamincseppeket szed. Naponta $ 2\times 25 $ csepp az adagja. Körülbelül 20 csepp folyadék térfogata 1 milliliter. A folyadék milliliterenként 100 milligramm hatóanyagot tartalmaz.

b) Hány milligramm hatóanyagot kap naponta Cili cseppek formájában?

A vitaminoldatot olyan üvegben árulják, amely két henger alakú és egy csonkakúp alakú részből áll. A folyadék a csonkakúp alakú rész fedőlapjáig ér. Az üveg belső méreteit az ábra mutatja. A nagyobb henger átmérője 3 cm, magassága 7 cm. A csonkakúp fedőlapjának átmérője 1 cm, alkotója 2 cm hosszú.

c) Hány napig elegendő Cilinek az üvegben lévő vitaminoldat, ha mindig az előírt adagban szedi?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett $f(x)= \left | x+a \right |+b$ függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik számot rendeli az $x \mapsto \sqrt[3]{4x-1};\quad(x\in \mathbb{R})$   függvény a 7-hez?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy végzős osztály diákjai projektmunka keretében különböző statisztikai felméréseket készítettek az iskola tanulóinak körében.

a) Éva 150 diákot kérdezett meg otthonuk felszereltségéről. Felméréséből kiderült, hogy a megkérdezettek közül kétszer annyian rendelkeznek mikrohullámú sütővel, mint mosogatógéppel. Azt is megtudta, hogy 63-an mindkét géppel, 9-en egyik géppel sem rendelkeznek. A megkérdezettek hány százalékának nincs otthon mikrohullámú sütője?

b) Jóska a saját felmérésében 200 diákot kérdezett meg arról, hogy hány számítógépük van a háztartásban. A válaszokat a következő táblázatban összesítette:

Jóska felmérése alapján töltse ki az alábbi táblázatot az egy háztartásban található számítógépek számáról!

c) Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja: Minden háztartásban van televízió. Az alábbi négy állítás közül válassza ki azt a kettőt, amely Tamás állításának tagadása!

A) Semelyik háztartásban nincs televízió.

B) Van olyan háztartás, ahol van televízió.

C) Van olyan háztartás, ahol nincs televízió.

D) Nem minden háztartásban van televízió.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ha egy egészségpénztári számlára befizetünk egy összeget, akkor abból először levonnak 6% működési költséget, és a  fennmaradó összeget írják jóvá a számlán. Hány forintot írnak jóvá a számlán 150 000 Ft befizetése esetén?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(–2; –1), B(9; –3) és C(–3; 6).

a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét!

b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát!

c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a $ P(2; 5) $ pontra, valamint az $ x + y = 4 $ és az $ x + y = 6 $ egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége 3.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$ \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=2 $

Legyenek $ f $, $ g $ és $ h $ függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy

$ f(x)=x-1,\qquad  g(x)=2^x,\qquad h(x)=|x|-3$

b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (-2)-höz (-1)-et rendel!
c) Töltse ki az alábbi táblázatot az „igaz” és „hamis” szavakkal annak megfelelően, hogy az adott kijelentés igaz vagy hamis az adott függvény esetén!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy memóriajáték 30 olyan egyforma méretű lapból áll, melyek egyik oldalán egy-egy egész szám áll az 1, 2, 3, … 14, 15 számok közül. Mindegyik szám pontosan két lapon szerepel. A lapok másik oldala (a hátoldala) teljesen azonos mintázatú. A 30 lapot összekeverjük. A játék kezdetén a lapokat az asztalra helyezzük egymás mellé, hátoldalukkal felfelé fordítva, így a számok nem látszanak. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a játék kezdetén két lapot véletlenszerűen kiválasztva a lapokon álló számok megegyeznek!

b) Egy dominókészlet azonos méretű kövekből áll. Minden dominókő egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma kő nem lehet egy készletben. Az ábrán két kő látható: a 4-4-es és a 0-5-ös (vagy 5-0-ás). Hány kőből áll egy dominókészlet?

c) A „Ki nevet a végén?” nevű társasjátékban egy játékos akkor indulhat el a pályán, amikor egy szabályos dobókockával 6-ost dob. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy valaki pontosan a harmadik dobására indulhat el a pályán!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $ x^2 - (4 p + 1) x + 2 p = 0 $ másodfokú egyenlet, ahol $ p $ valós paraméter. 

a) Igazolja, hogy bármely valós $ p $ érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van!
b) Ha az egyenlet egyik gyöke 3, akkor mennyi a másik gyöke?
c) Határozza meg a $ p $ paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetöszszege 7 legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maximuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maximumhelyét is!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!

$|x-2|=7$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $x^2+bx-10=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa 49. Számítsa ki b értékét! Számítását részletezze!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$ 25\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^x-50\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+1}+30\cdot\left( \dfrac{1}{5} \right)^{x+2}=81$

b) Igazolja, hogy $\dfrac{\lg 5^x+\lg 5^{-x}}{2}\le \lg \dfrac{5^x+5^{-x}}{2}\ (x\in\mathbb{R}) $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve 2-nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestettük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan 1 cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 28 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg a $\sin x=1$ egyenletet a valós számok halmazán!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az alábbi kilenc szám közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám nem negatív? -3,5; -5; 6; 8,4; 0; -2,5; 4; 12; -11.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek).
A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökkenteni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát. (Tehát például 310 talléros jegyár esetén naponta 98 000 utazás lenne, és ennek 12%-a lenne bliccelés.) Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának minden 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta.
a) Mekkora lenne a közlekedési társaság vonaljegyekből származó napi bevétele a hatástanulmány becslései alapján, ha 350 tallérra emelnék a vonaljegyek árát?
b) Hány talléros vonaljegy esetén lenne maximális a napi bevétel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ A $ és $ B $ halmazokról tudjuk, hogy $ A = \{2; 3; 5\} $, $ A \cap B = \{2; 3\} $, $ A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5\} $. Elemei felsorolásával adja meg a $ B $\ halmazt!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt.

a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban?

Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradványai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig $ \alpha $; $ 0<\alpha<2\pi $.)

b) Hogyan kell megválasztani az $ \alpha $ szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kinga 10. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 10. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Ft-tal többet adnak, mint az azt megelőző hónapban. Egy bizonyos hónapban, mikor éppen 1850 Ft volt a havi zsebpénze, összeadta az addig kapott összes zsebpénzét. Az összeg 35100 Ft lett. Mennyi volt Kinga induló zsebpénze, és hány hónap telt el a 10. születésnapja óta?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kockajátékban egy menet abból áll, hogy szabályos dobókockával kétszer dobunk egymás után. Egy dobás 1 pontot ér, ha négyest, vagy ötöst dobunk, egyébként a dobásért nem jár pont. A menetet úgy pontozzák, hogy a két dobásért járó pontszámot összeadják. 

a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy menetben 1 pontot szerzünk, és azt az első dobásért kapjuk?

b) Minek nagyobb a valószínűsége,

- annak, hogy egy menetben szerzünk pontot, vagy

- annak, hogy egy menetben nem szerzünk pontot?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben $ A(0; 0) $, $ B(82; 0) $ és $ C(41; 71) $. Géza szerint ez a háromszög szabályos.
a) Határozza meg a háromszög szögeit fokban, három tizedesjegyre kerekítve!
b) Határozza meg a háromszög AC és AB oldalainak arányát négy tizedesjegyre kerekítve!
Egy csonkakúp alapkörének sugara 14 cm, fedőkörének sugara 8 cm, alkotója 10 cm hosszú. Géza szeretné gyorsan megbecsülni a csonkakúp térfogatát, ezért azt egy henger térfogatával közelíti. A közelítő henger alapkörének sugara megegyezik a csonkakúp alap- és fedőköre sugarának számtani közepével, magassága pedig egyenlő a csonkakúp magasságával.
c)Határozza meg Géza közelítésének relatív hibáját! (Relatív hibának nevezzük a közelítő értéknek a pontos értéktől mért százalékos eltérését.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az osztály lottót szervez, melyben az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül húznak ki hármat. Tamás a 2, 3, 5 számokat jelöli be a szelvényen. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Tamásnak telitalálata lesz! Számítását részletezze!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg x értékét, ha $ 5^x=\left(5^2\cdot 5\cdot 5^4\right)^3 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a $ \left[ –2; 2 \right] $ zárt intervallumon értelmezett $ x \rightarrow x^2 - 1 $ függvény. 
a) Határozza meg a függvény értékkészletét!
b) Adja meg a függvény zérushelyeit!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba