Az x, y, z pozitív egész számokról tudjuk, hogy relatív prímek, és $\dfrac 1 x + \dfrac 1 y = \dfrac 1 z$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $x\cdot y\cdot z$ négyzetszám!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az O₁ középpontú k₁ és az O₂ középpontú k₂ körök A-ban és B-ben metszik egymást. Az A-n átmenő közös szelőjük a köröket még C és D pontokban is metszi. (C k₁-en, D k₂-n van.) A CO₁ és DO₂ egyenesek metszéspontja M. Igazoljuk, hogy O₁, O₂, M és B egy körön vannak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $A = \{a_1; a_2; . . . ; a_k\}$ halmaz súlyán a benne lévő számok szorzatát értjük. (Vagyis pl. az $A = \{2; 3; 5\}$ halmaz súlya: $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.) Tekintsük a $H = \{\dfrac 1 2 ; \dfrac 1 3 ; \dfrac 1 4 ; . . . ; \dfrac 1 {2014} \}$ halmazt! Mennyi H összes páros elemszámú (legalább két elemet tartalmazó) részhalmazai súlyainak az összege? (Ez pl. az $A = \{2; 3; 5\}$ halmaznál $ 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 31$ lenne.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba