Mutassuk ki, hogy bármely a, b, c pozitív valós szám esetén, ahol a + b + c = 1, igaz a következő állítás:

$\left(a+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^4+\left(b+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^4+\left(c+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^4\ge1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az ABC háromszög olyan, hogy A-nál és B-nél is hegyesszöge van. Ekkor állítsunk a C csúcsból merőlegest az AB oldalra, és jelölje a merőleges talppontját T! Legyen az ATC háromszögbe írt kör sugara ra, a BTC háromszögbe írt kör sugara rb, az ABC háromszögbe írt kör sugara r. Bizonyítsuk be, hogy ha r + ra + rb = CT, akkor a háromszögnek C-nél derékszöge van!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kullancs kapitány kalózhajóján a matrózoknak pontosan

– kétharmada félszemű;

– háromnegyede falábú;

– négyötöde kampókezű, és

– öthatoda kopasz.

A hajón a matrózok közül pontosan azok a tisztek, akik egyszerre félszeműek, falábúak, kampókezűek, és kopaszok is egyben. A tisztek száma 5, valamint a tisztek matrózoknak is számítanak! Hány fős a kalózhajó legénysége?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba