Két egységsugarú kör metszi egymást az $ A $, $ B $ pontokban. Húzzuk meg a két kör egyik közös külső érintőjét, a keletkező érintési pontok legyenek $ E $ és $ F $, ekkor $ EBFA $ egy konkáv négyszög. Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe? Milyen messze van a két kör középpontja egymástól, ha a négyszög területe maximális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $a_1,a_2,\ldots a_{100},b_1,b_2,\ldots b_{100}$ az 1, 2, . . . , 200 számok valamilyen sorrendben. Adjuk meg az $a_1,a_2,\ldots a_{100},b_1,b_2,\ldots b_{100}$ számokat úgy, hogy az $(a_i-b_j)^2$ $(1\le i\le100,\,1\le j\le100)$ számok összege a lehető legkisebb legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 16 tagú összejövetelen a vendégek kézfogással üdvözölték egymást (de nem biztos, hogy mindenki mindenkivel kezet fogott). Valaki észrevette, hogy bármelyik két vendéghez található két másik, akik mindkettejükkel kezet fogtak.

a) Bizonyítsuk be, hogy van olyan vendég, aki legalább 6 másik vendéggel fogott kezet!

b) Biztosan van-e olyan vendég, aki 7 másik vendéggel fogott kezet?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba