- Kezdőlap
- 2022/ 2023
- Oktatási anyagok
- Versenyek
- Feladatbank
- TeX / LaTeX
- Rólunk
FaceBook oldalunkLátogatók
Mai299
Heti2908 Havi29833 Összes3882043 IP: 3.229.117.123 Unknown - Unknown 2022. augusztus 16. kedd, 03:19 Ki van itt?Guests : 36 guests online Members : No members online |
1. találat: ARANYD 2015/2016 Haladó III. kategória döntő 1. feladat Témakör: *Geometria (terület) (Azonosító: AD_20152016_h3kdf1f ) Adott ABC háromszög esetén a QRS háromszöget nevezzük az ABC háromszög kölyökháromszögének, ha az igaz, hogy - QP1 felezőpontja R, - RP2 felezőpontja S, - SP3 felezőpontja Q, ahol a P1 , P2 , P3 pontok valamilyen sorrendben az A, B, C pontok. Igazoljuk, hogy minden ABC háromszögnek két kölyök-háromszöge van, és a két kölyökháromszög metszetének a területe az ABC háromszög területének az 1/10-e. Témakör: *Algebra (függvény egyenlet) (Azonosító: AD_20152016_h3kdf2f ) Az $f : R \rightarrow R$ nem konstans függvényről azt tudjuk, hogy minden valós x esetén $f (1 - x) + (1 - x)f (x) = c,$ ahol c rögzített egész konstans. Igazoljuk, hogy ha f (x)-nek van egész fixpontja, akkor van két olyan fixpontja is, amely nem egész. (z fixpontja f (x)-nek, ha f (z) = z.) Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20152016_h3kdf3f ) Egy kör alakú asztal körül 20 diák ül. Minden diák előtt van néhány cukorka, kezdetben 2, 4, 6, 8, . . . , 38, 40, valamilyen tetszőleges sorrendben. A diákok - tanáruk vezetésével - a következőt teszik. Egy lépésben minden diák odaadja a tőle jobbra ülő diáknak cukorkái felét, majd ha így páratlan sok cukorkája maradna, akkor a tanártól kap még egyet. Ezt a lépést ismételgetik újra és újra. Bizonyítsuk be, hogy egy idő után minden diáknak ugyanannyi cukorkája lesz.
|
||||
|