Melyek azok a pozitív természetes számok, amelyek reciprokának tizedes tört alakja véges, és a szám köbének 7-szer annyi osztója van, mint magának a számnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD négyzet belsejében egy P pontra teljesül, hogy $APB\sphericalangle=90^\circ$, és PA > PB. Jelöljük d-vel PA és PB szakasz hosszának különbségét, a négyzet középpontját pedig O-val! Fejezzük ki OP távolságot d-vel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy szabályos háromszög oldalait felosztjuk 6-6 egyenlő részre, és az osztópontokon keresztül az oldalakkal párhuzamos szakaszok segítségével a háromszöget feldaraboljuk 36 egybevágó részre. Ezután a kis háromszögek minden csúcspontjában elhelyezünk egy-egy katicabogarat, amelyek elkezdenek mozogni a különböző éleken azonos sebességgel. Amikor egy csomópontba érnek, megváltoztatják a haladási irányukat 60 vagy 120°-kal. Bizonyítsuk be, hogy lesz olyan pillanat, amikor két katica ugyanabban a csúcsban találkozik. Igaz marad-e az állítás akkor is, ha kezdetben a háromszög oldalait csak 5-5 egyenlő részre osztjuk fel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba