Az ABCD konvex négyszöget az AC átlója két egyenlő területű háromszögre osztja. Az AC átlón felvett M (belső) ponton át az AB oldallal párhuzamosan húzott egyenes a BC oldalt a P pontban, az M ponton átmenő és a CD-vel párhuzamos egyenes az AD oldalt a Q pontban metszi. Hogyan kell az M pontot megválasztani, hogy az M P C és az M QA háromszögek területeinek összege minimális legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Felírtuk egy táblára a számokat 1-től 10-ig. Egy lépésben kiválasztunk kettőt, és elosztjuk őket egymással úgy, hogy a hányados legalább 1 legyen. A két kiválasztott számot letöröljük, és felírjuk helyette a hányados egészrészét. Legfeljebb mekkora lehet az utolsónak maradt szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy n pozitív egész szám esetén jelölje $f(n)$ azt a legkisebb pozitív egész k számot, amelyre igaz, hogy k! osztható n-nel. Igazoljuk, hogy végtelen sok n esetén teljesül, hogy $\dfrac{f (n) }{f (n+1) }>1,99$!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba