Egy minden irányban végtelen négyzethálós papírlap mindegyik mezőjébe egy-egy pozitív egész számot kell írnunk a következő feltételekkel:

- Az n szám éppen n-szer forduljon elő (azaz 1 darab 1-es, 2 darab 2-es stb. szerepeljen a lapon).

- Két tetszőleges, közös oldalú mezőbe kerülő számok különbsége kisebb legyen egy előre megadott k számnál.

Mi az a legkisebb egész k, amelyre a kitöltést el lehet végezni?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az ABCD konvex négyszöget. Legyenek A' a BCD, B' az ACD, C' az ABD és D' az ABC háromszög súlypontjai, míg F az AB, G a BC, H a CD és I a DA oldal felezőpontja. Igazoljuk, hogy a C'FD'GA'HB'I nyolcszög területe az ABCD négyszög területének és az A'B'C'D' négyszög területének mértani közepe!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy a 2018 elemű $ H = {1!; 2!; 3!; \ldots ; 2017!; 2018!} $ halmazból elhagyhatunk két elemet úgy, hogy a megmaradó 2016 darab elem szorzata négyzetszám legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba