Egy tanár kijavította egy 12 fős csoport dolgozatait. A kijavított dolgozatok egymás felett helyezkednek el. A tanár készül felírni a jegyeket egy papírlapra, amelyen a tanulócsoport tagjainak neve van ábécé rendben felsorolva. A lap egyik oldalán tíz név szerepel, a másik oldalon pedig kettő. A lapnak kezdetben az az oldala van felül, amelyiken tíz név szerepel. A tanár először a legfelül lévő dolgozat jegyét írja a megfelelő diák neve mellé, majd az alatta levőét és így tovább. (Természetesen az utolsó jegy beírása után már nem fordítja meg a lapot.) Döntsük el, hogy minek nagyobb az esélye: annak, hogy a tanár a lapot legalább négyszer megfordítja a jegyek beírása során, vagy annak, hogy legfeljebb háromszor?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy osztály túrázás közben azt játszotta, hogy egyikük összeadta a természetes számokat egy általa kiválasztott n természetes számig, és megmondta az eredményt a többieknek. Az mondhatta a következő összeget, aki először eltalálta n értékét. Levente a 2273-at adta fel. Péter közbeszólt: "Biztosan hibáztál összeadás közben, mert a természetes számok összege sohasem végződhet 73-ra!" Bizonyítsuk be Péter állítását, azaz: Az első n természetes szám összege nem végződhet 73-ra!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kör metszi egy adott O csúcsú $(\alpha<180^\circ)$ szög szárait, egyiket az A és B, másikat a C és D pontban. (Az A pont O és B között, a C pont O és D között van.) Az adott szög felezője a kört az M és az N pontban metszi. (O-hoz az M van közelebb.) Bizonyítsuk be, hogy az AM ív és az ND ív összege egyenlő az MC ív és a BN ív összegével (a szóbanforgó négy ív az $\alpha$ szárai között van)!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adottak az alábbi egyenletek:

$x^2+px+q=0\qquad (1)$

$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{p}{x+1}+\dfrac{q}{x}=0\qquad (2)$

Bizonyítsuk be, hogy ha mindkét egyenletnek két valós gyöke van és az (1) egyenletnek pontosan egy gyöke van a ]0; 1[ intervallumban, akkor a (2) egyenletnek pontosan egy gyöke pozitív.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba