Egy osztályba 33 diák jár. Minden tanulót megkérdeztünk arról, hogy hány osztálytársának azonos vele a keresztnevének, illetve a vezetéknevének kezdőbetűje. Tanulónként a két-két választ felírva kiderült, hogy 0-tól 10-ig minden szám előfordult a válaszok között. Bizonyítsuk be, hogy biztosan van az osztályban legalább két olyan diák, akinek ugyanazzal a betűvel kezdődik a vezetékneve és a keresztneve is!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ (a_n) $ véges sorozatra teljesül, hogy $ a_1 = 20 $, $ a_2 = 5 $, utolsó eleme $ a_k = 0 $ és $ 2\le n<k $ esetén $ a_{n+1} = a_{n-1}-\dfrac 2 {a_n} $. Határozzuk meg azt a k indexet, amire $ a_k = 0 $!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen ABCD egység oldalú négyzet. Az AB, BC, CD, DA oldalakon jelöljünk ki olyan P, Q, R, S pontokat, hogy AP + AS + CQ + CR = 2. Bizonyítsuk be, hogy a PR és QS szakaszok merőlegesek egymásra!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba