Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan konvex nyolcszög, amelynek minden belso szöge ugyanakkora, és az oldalai valamilyen sorrendben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, illetve 8 egység hosszúak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely $ x $, $ y $ pozitív számokra teljesül a következő egyenlet?

$ x^2+y^2+x+y=2\sqrt{x^3+y^3+x^2y^2+xy} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott egy rögzített $ AB $ szakasz, egy vele nem párhuzamos $ e $ egyenes, és egy $ v $ vektor, ami az  $ e $-vel párhuzamos és $ AB $-vel egyenlő hosszú. Az egyenes egy tetszőleges $ P $ pontjához jelöljük ki azt az $ R $ pontot, amelyre  $ PR = v $ . Az  $ AB $ vektort a  $ PR $ vektorba vivő elforgatás középpontja legyen $ O $. Milyen ponthalmazt alkotnak az $ O $ pontok, ha $ P $ végigfut az egyenesen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Vegyünk egy tíz darab különböző pozitív egész számból álló halmazt. Képezzük minden nem üres részhalmaza esetén a részhalmazban szereplő számok összegét! Egyelemű halmaz esetén az összeg maga a szám. Igazoljuk, hogy a tíz szám megválasztható úgy, hogy 959 különböző összeg fordul elő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A pozitív egész számokból álló $ (p, a, b, c) $ számnégyest nevezzük különlegesnek, ha teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok:
a) $ p $ páratlan prímszám,
b) $ a, b, c $ különböző számok,
c) $ ab + 1 $, $ bc + 1 $ és $ ca + 1 $ is osztható $ p $-vel.
Bizonyítsuk be, hogy $ p + 2\ |\ \dfrac{a+b+c}{3}$, és adjunk példát arra, hogy mikor áll fenn az egyenlőség.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba