A $ \dfrac{166..6}{66...64} $ törtben a számláló és a nevező is egy-egy olyan 2019-jegyű egész szám, amely 2018 darab 6-os számjegyet tartalmaz. Adjuk meg a tört legegyszerűbb (tovább nem egyszerűsı́thető) alakját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Léteznek-e olyan a, b, c, x pozitı́v valós számok, amelyekre az

$ a^2+b^2=c^2 $

$ (a+x)^2+(b+x)^2=(c+x)^2  $

egyenlőségek egyszerre fennállnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A 101 kiskutya között kiosztottunk 2019 csontot. Igazoljuk, hogy biztosan van három olyan kiskutya, akik ugyanannyi csontot kaptak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy léteznek olyan $ x $ és $ y $ pozitı́v egészek, valamint $ p $ és $ q $ különböző, legalább kétjegyű prı́mszámok, hogy

$ (x+y)^4-x^4=p\cdot q $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ABC$ derékszögű háromszögben valamely súlyvonal merőleges valamely másik súlyvonalra. Mutassuk meg, hogy ekkor az $ABC$ háromszög súlyvonalaiból szerkesztett háromszög újra derékszögű lesz.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba