Felírtunk a táblára $ 2n $ darab pozitív egész számot tetszőleges sorrendben egymás után. Ezen számok összes prímosztója $ n $ prím közül kerül ki. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható ezen számok egy nem üres részhalmaza, amelynek elemei a felírt sorban egymást utániak, és a részhalmaz elemeinek szorzata négyzetszám!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ x $, $ y $, $ z $ pozitív valós számok szorzata 1. Bizonyítsuk be, hogy

$ K(x,y,z)=\dfrac{x}{y+z+3}+\dfrac{y}{z+x+3}+\dfrac{z}{x+y+3}\ge \dfrac{3}{5}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög belsejében található $ D $ pontra $ CAD\sphericalangle = DCA\sphericalangle = 30^\circ $ és $ ABD\sphericalangle = 60^\circ $ . Legyen $ E $ a $ BC $ oldal felezőpontja, $ F $ pedig a $ CA $ oldal $ C $-hez közelebbi harmadolópontja. Igazoljuk, hogy $ DE \perp EF $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba