Bizonyítsuk be, hogy $ 5a^2 + 4ab - b^2 $ ($ a $ és $ b $ egész számok) akkor és csak akkor osztható 3-mal,
ha $ a + b $ is osztható 3-mal.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy dobozban 20 golyó található, $ p $ db piros, $ f $ db fehér és $ z $ db zöld színű. Ha a dobozban a  fehér golyók számát megdupláznánk, akkor egy piros golyó kihúzásának az esélye $ \dfrac 1 {25} $-del csökkenne. Ha a dobozból minden piros golyót kivennénk, akkor egy fehér golyó húzásának esélye $ \dfrac 1 {16} $-dal 16 nőne. Határozzuk meg $ p, f , z $ értékét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy falu 2020 lakójáról tudjuk, hogy bármely három embert választva közülük, ebből a háromból van kettő, akik egymás között szoktak telefonon üzenetet váltani. Egy hírt szeretnénk ennek a 2020 embernek eljuttatni. Igazoljuk, hogy ki lehet jelölni két embert a faluból úgy, hogy nekik elmondjuk a hírt, és ők ketten 2018 üzenettel az összes többi emberhez eljuttatják!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy derékszögű háromszög oldalai egész számok, és a terület mérőszáma kétszerese a kerület mérőszámának. Mekkorák az oldalak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ paralelogramma $ A $ csúcsnál lévő szöge $ 60^\circ $. Az $ AB $  és $ CD $ oldalak felezőpontjai köré egymást és egy-egy szomszédos oldalt érintő 3 egység sugarú félköröket rajzoltunk az ábrán látható módon. Mekkora az ábrán berajzolt, a két kört és az oldalt érintő kis kör sugara, illetve mekkorák a paralelogramma oldalai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba