Legyenek $ x $, $ y $ és $ z $ nullától és egymástól páronként különböző valós számok.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha $ x $, $ y $ és $ z $ pozitívak, továbbá $ x +\dfrac{1}{y} $, $ y +\dfrac{1}{z} $, $ z +\dfrac{1}{x} $ és $ xyz $ mindegyike racionális, akkor $ x $, $ y $ és $ z $ is racionális számok.
b) Bizonyítsuk be, hogy ha $ x +\dfrac{1}{y} $, $ y +\dfrac{1}{z} $, $ z +\dfrac{1}{x} $ és $ xyz $ mindegyike racionális, de nem feltétlenül pozitívak, akkor $ x $, $ y $ és $ z $ lehetnek irracionális számok is.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyszögben $ DAB\sphericalangle = ABC\sphericalangle = 110^\circ $,  $ BCD\sphericalangle = 35^\circ $, $ ADC\sphericalangle = 105^\circ $ és az $ AC $ átló felezi a $ DAB\sphericalangle $-et. Határozzuk meg az $ ABD\sphericalangle $ nagyságát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A pozitív egész számok $ a_1, a_2 ,\ldots. $ sorozatát „hexadecimálisnak” nevezzük, ha bármely nyolc egymást követő tag összege legfeljebb 16, vagyis bármely $ i \in \mathbb{N}^+ $ esetén

$ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_{i+7} \le 16. $

Egy $ m $ pozitív egész számot „vágáshossznak” nevezzük, ha minden hexadecimális sorozat néhány egymást követő tagjának összege $ m $, azaz léteznek olyan $ k \le l\  (k, l \in\mathbb{N} ) $ számok, amelyekre

$ \sum\limits_{i=k}^{l} a_i = m. $

Határozzuk meg $ m $ összes lehetséges értékét, vagy bizonyítsuk be, hogy $ m $ egyetlen pozitív egész értéket sem vehet fel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba