Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$ \sqrt{2-x} + \dfrac{x^2}{\sqrt{2-x}} +x^2 = \dfrac{1}{\sqrt{2-x}} + \dfrac{\sqrt{2-x}}{x^2} +\dfrac{1}{x^2} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ ABC $ hegyesszögű háromszög belsejében felvesszünk egy tetszőleges, de a magasságponttól különböző $ P $ pontot. $ P $-n keresztül párhuzamosokat húzunk az oldalakkal. A $ C $-ből induló magasság és az $ AB $-vel párhuzamos egyenes metszéspontja $ X $, a $ B $-ből induló magasság és az $ AC $-vel párhuzamos egyenes metszéspontja $ Y $ , a harmadik párhuzamos és a harmadik magasság metszéspontja $ Z $. Igazoljuk, hogy az $ XYZ $ háromszög hasonló $ ABC $-hez!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje $ m(n) $ az $ n $ pozitív egész számnak a $ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $ osztókkal adott osztási maradékainak összegét. Például $ m(25) = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 7 + 5 = 21 $. Melyek azok az $ n $ kétjegyű pozitív egész számok, amelyekre $ m(n) = m(n + 1) $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A síkon felvettünk $ 47 $ különböző pontot. Mindegyik pont mindkét koordinátája egész szám, és az $ x $ és $ y $ koordinátára teljesül, hogy $ 1\le  x \le 20 $, valamint $ 1 \le y \le 5 $. Igazoljuk, hogy a pontok közül kiválasztható négy darab úgy, hogy ezek egy olyan téglalap csúcsai legyenek, amelynek az oldalai párhuzamosak a tengelyekkel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje $ f(n) $ azt a számot, ahányféleképpen az $ n $ pozitív egész felbontható – a tagok sorrendjének figyelembe vételével – pozitív páratlan számok összegére. Adjuk meg $ f(n) $-t! (Mivel az összegben a tagok sorrendje számít, az $ 5 $-nek például a $ 3 + 1 + 1 $ és az $ 1 + 3 + 1 $ különböző felbontásai. Az 5 ötféleképpen bontható fel a fenti módon, ezek: $ 5; 3 + 1 + 1; 1 + 3 + 1; 1 + 1 + 3; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 $, így $ f (5) = 5 $.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba