Egy sorozat első tagja $ a_1 = 2 $. Tudjuk, hogy a sorozat $ (n + 1) $-edik tagja:

$ a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1} $

Határozzuk meg a sorozat $ 2023 $-adik tagját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a $ és $ b $ pozitív egész számokra teljesül, hogy:

$ \dfrac{1}{\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}}  - \dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}} =b $

Mi lehet az $ a $ szám utolsó számjegye?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A nem egyenlő szárú $ ABC $ háromszög leghosszabb $ AB $ oldalán kijelölünk olyan $ D $ és $ E $ pontokat, amelyekre teljesül, hogy $ AD = AC $ és $ BE = BC $. A $ D $ ponton keresztül $ AC $-vel és az $ E $ ponton keresztül $ BC $-vel párhuzamosan húzott egyenesek az $ F $ pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy $ FC $ felezi az $ EFD $ szöget.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy tízes számrendszerben felírt hatjegyű szám számjegyei mind különbözőek és egyik sem $ 0 $, valamint a szám osztható $ 37 $-tel. Bizonyítsuk, be hogy a számjegyeknek van még legalább $ 7 $ olyan sorrendje, ahol a kapott hatjegyű szám szintén osztható $ 37 $-tel!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba