Négyzetszám-e az alábbi összeg értéke? 

$ 1! + 2! + 3! + . . . + 2023! $

(Definíció szerint $ 1! = 1 $, továbbá $ n \ge 2 $ pozitív egész esetén $ n! $ az $ 1 \cdot 2 \cdot . . . \cdot n $ szorzatot jelenti.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számok halmazán.

$ \begin{cases} x^2-y^2-z^2=1 \\ y+z-x=-3  \end{cases} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszögben a $ BC $ oldalhoz tartozó súlyvonal másfélszerese a $ BC $ oldalnak. Jelölje $ A_1 $, $ B_1 $ és $ C_1 $ rendre a $ BC $, $ AC $ és $ AB $ oldalak felezőpontjait. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögben 

$ AA_1^2 = BB_1^2 +CC_1^2. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy konvex 2023-szögben behúztunk 20 átlót, amelyek páronként nem metszik egymást. Vágjuk szét a sokszöget az átlók mentén. Bizonyítsuk be, hogy a kapott sokszögek között van olyan, amelynek legalább 99 csúcsa van.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ p(x) $olyan másodfokú polinom, amelynek főegyütthatója 1. Tudjuk, hogy a $ p(x) $, illetve a $ p\left(p \left(p(x)\right)\right) $ polinomoknak van közös valós gyöke. Bizonyítsuk be, hogy 

$ p(0) \cdot p(1) = 0. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba