Egy kör kerületén kijelölünk $ n $ pontot. Azt szeretnénk elérni, hogy a pontok által meghatározott háromszögek közül pontosan $ 2^{2024}{} $ legyen derékszögű. Mennyi a szükséges pontok számának minimuma?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n $ pozitív egész szám, $ d $ pedig az $ n^2 + 1 $ és az $ (n + 1)^2 + 1 $ számok legnagyobb közös osztója. Határozzuk meg $ d $ lehetséges értékeit.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ F $ az $ ABCD $ húrnégyszög körülírt körének azon pontja, amely felezi a kör $ C $ és $ D $ pontokat nem tartalmazó $ AB $ ívét. A $ DF $ és $ AC $ egyenesek a $ P $, a $ CF $ és $ BD $ egyenesek pedig a $ Q $ pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a $ PQ $ és $ AB $ egyenesek párhuzamosak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg az $ xy + yz + zx $ kifejezés értékét, ha az $ x $, $ y $, $ $z valós számok teljesítik az

$ x^2 - yz = y^2 - zx = z^2 - xy = 2 $

feltételt.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott egy $ H $ halmaz, amelynek elemszáma $ 50 $, és mindegyik eleme egész szám. Bizonyítsuk be, hogy $ H $-nak van olyan nem üres részhalmaza, amelyben az elemek összege $ 100 $-zal osztva $ 0 $ vagy $ 1 $ vagy $ 99 $ maradékot ad.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba