Az ABCDE konvex ötszögben AB=AE=20 cm és BC=CD=DE. A BCDE négyszög egy húrtrapéz, amelynek a B-nél fekvő belső szöge $ 40^\circ $-os. Az A csúcs és az EB átló távolsága 10 cm.

a) Mekkorák az ötszög (belső) szögei?
b) Mekkora az ötszög területe?
c)Hányféleképpen járható be az ábrán látható ABCDE ötpontú gráf, ha mindegyik élén pontosan egyszer kell végighaladnunk? (A bejárás kezdőpontja a gráf egyik csúcsa; egy csúcsba érkezve csak olyan élen haladhatunk tovább, amely szintén az adott csúcsból indul.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy hatfős baráti társaság, Attila, Boróka, Csaba, Dóra, Emil és Fanni három csapatot alkot. Mindhárom csapat 2 tagú, és mind a hatan pontosan egy csapatnak lesznek a tagjai.
a) Igazolja, hogy 15 különböző lehetőség van a három csapat kialakítására! (Két lehetőség különböző, ha van olyan tag, akinek az egyik esetben más a csapattársa, mint a másikban.)
b) Ha véletlenszerűen (például sorsolással) hozzák létre a három csapatot, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom csapatba egy fiú és egy lány kerül?
Végül Attila Borókával, Csaba Dórával, Emil pedig Fannival került egy csapatba. A három csapat tagjai egyéni asztalitenisz-mérkőzéseket játszanak. Mindhárom csapat mindkét tagja egyszer játszik a másik két csapat mindkét tagjával. (Az egy csapatba tartozók nem játszanak egymás ellen.) Az egyes mérkőzéseket egymás után bonyolítják le. Az egyik mérkőzés után Attila megfigyelte, hogy a többi öt játékos mind különböző számú 
mérkőzést játszott eddig.
c) Hány mérkőzést játszott eddig Boróka?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy bizonyos fenyőfa (méterben mért) várható magasságának becslésére az alábbi képletet használják:

$ h(t)=\dfrac{30}{1+59\cdot 0,905^t } $

ahol $ t $ a megfigyelés kezdetétől eltelt idő években számítva.
a) Hány méter magas volt a fa a megfigyelés kezdetekor?
b) A megfigyelés kezdetétől számítva hány év múlva lesz a fa 10 méter magas?
c) Számítsa ki az $ \{a_n\} $ sorozat határértékét, ha $ a_n =\dfrac{30}{1+59\cdot 0,905^n} $

Különleges facsemeték neveléséhez egy téglalap alakú részt akarnak elkeríteni.

A téglalap két szomszédos oldala természetes határokkal védhető, ezért csak a másik két oldalon kell kerítést építeni. A környezeti adottságok miatt a kerítés építési költsége a két oldalon különböző: az egyik oldalon 5 ezer Ft/m, a másik oldalon pedig 10 ezer Ft/m. A kerítés építésére összesen 400 ezer Ft áll rendelkezésre.

d) Hogyan kell megválasztani a két kerítésszakasz hosszát, hogy a rendelkezésre álló összegből a legnagyobb területű ültetvényt lehessen elkeríteni?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy számítógépes játékban egy kör alakú tartomány az ábra szerint három résztartományra van felosztva (A, B, C). Bármely két tartomány között egy átjáró van (az ábrán szaggatott vonallal jelölve). A tartományok közötti átjárók mindegyike a többitől függetlenül p valószínűséggel van nyitva (0 < p < 1). Egyik tartományból a másikba csak nyitott átjárón (vagy átjárókon) keresztül lehet eljutni.

Legyen az $ E_0 $ esemény az, hogy az A tartományból nem lehet másik tartományba eljutni.
a) Mutassa meg, hogy az $ E_0 $ esemény valószínűsége $ 1-2 p+p^2 $ .
b) Hogyan kell megválasztani a $ p $ értékét úgy, hogy az $ E_0 $ esemény valószínűsége legfeljebb 0,01 legyen?
Legyen az E1 esemény az, hogy az A tartományból pontosan egy másik tartományba lehet eljutni, az E2 esemény pedig az, hogy az A tartományból mindkét másik tartományba el lehet jutni (nem feltétlenül közvetlenül).
c) Igazolja, hogy az $ E_1 $ esemény valószínűsége $ 2 p-4 p^2+2 p^3 $ , az $ E_2 $ esemény valószínűsége pedig $ 3 p^2-2 p^3 $ .
d) Határozza meg a $ p $ valószínűség értékét úgy, hogy az $ E_1 $ esemény valószínűsége a lehető legnagyobb legyen, majd számítsa ki ekkor az $ E_1 $

esemény valószínűségét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A 2, 4, 6, 8, 10 számok felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második. Az így kapott szorzatokat összeadjuk.
a) Számítsa ki ezt az összeget!
Legyen k tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Jelölje Sk azt az összeget, amelyet a következő eljárással kapunk: az $ 1, 2, 3, \dots , k $ számok (az első k db pozitív egész szám) felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

b) Igazolja, hogy $ S_{k+1}=S_k+\dfrac{k(k+1)}{2} $
c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy tetszőleges 1-nél nagyobb $ n $ egész szám esetén  $ S_n=\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba