


1. találat: Matematika középszintű érettségi, 2013. október, II. rész, 13. feladat Témakör: *Algebra (gyökös, lineáris) (Azonosító: mmk_201310_2r13f ) a) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! $x+4=\sqrt{4x+21}$
b) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y valós számot jelöl! $\left\{\begin{matrix} 3x+y=16\\ 5x-2y=45 \end{matrix}\right$
Témakör: *Geometria (súlyvonal, koszinusztétel, szinusztétel) (Azonosító: mmk_201310_2r14f ) Az ábrán látható ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, $\delta=47^{\circ}$. a) Számítsa ki az ABC háromszög területét! b) Számítással igazolja, hogy (egész milliméterre kerekítve) a háromszög BC oldalának hossza 60 mm! c) Számítsa ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szög nagyságát!
Témakör: *Halmazok (Venn-diagram, statisztika, logika) (Azonosító: mmk_201310_2r15f ) Egy végzős osztály diákjai projektmunka keretében különböző statisztikai felméréseket készítettek az iskola tanulóinak körében. a) Éva 150 diákot kérdezett meg otthonuk felszereltségéről. Felméréséből kiderült, hogy a megkérdezettek közül kétszer annyian rendelkeznek mikrohullámú sütővel, mint mosogatógéppel. Azt is megtudta, hogy 63-an mindkét géppel, 9-en egyik géppel sem rendelkeznek. A megkérdezettek hány százalékának nincs otthon mikrohullámú sütője? b) Jóska a saját felmérésében 200 diákot kérdezett meg arról, hogy hány számítógépük van a háztartásban. A válaszokat a következő táblázatban összesítette:
Jóska felmérése alapján töltse ki az alábbi táblázatot az egy háztartásban található számítógépek számáról!
c) Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja: Minden háztartásban van televízió. Az alábbi négy állítás közül válassza ki azt a kettőt, amely Tamás állításának tagadása! A) Semelyik háztartásban nincs televízió. B) Van olyan háztartás, ahol van televízió. C) Van olyan háztartás, ahol nincs televízió. D) Nem minden háztartásban van televízió. Témakör: *Függvények (algebra, exponenciális, térgeometria, sorozat, mértani, logaritmus) (Azonosító: mmk_201310_2r16f ) A kólibaktérium (hengeres) pálcika alakú, hossza átlagosan 2 mikrométer $(2\cdot10^{-6} m)$, átmérője 0,5 mikrométer $(5\cdot10^{-7} m)$ . a) Számítsa ki egy 2 mikrométer magas és 0,5 mikrométer átmérőjű forgáshenger térfogatát és felszínét! Számításainak eredményét m3 -ben, illetve m2 -ben, normálalakban adja meg!
Ideális laboratóriumi körülmények között a kólibaktériumok gyorsan és folyamatosan osztódnak, számuk 15 percenként megduplázódik. Egy tápoldat kezdetben megközelítőleg 3 millió kólibaktériumot tartalmaz. b) Hány baktérium lesz a tápoldatban 1,5 óra elteltével?
A baktériumok számát a tápoldatban t perc elteltével a $B(t)=9000000 \cdot 2^{\dfrac{t}{15}}$ összefüggés adja meg. c) Hány perc alatt éri el a kólibaktériumok száma a tápoldatban a 600 milliót? Válaszát egészre kerekítve adja meg! Témakör: *Koordinátageometria (Thalesz) (Azonosító: mmk_201310_2r17f ) Adott a koordináta-rendszerben két pont: A(1; –3) és B(7; –1). a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő e egyenes egyenletét! b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illeszkedik az $x^2+y^2-6x-2y=10$ egyenletű k körre, és számítsa ki az AB húr hosszát! Az f egyenesről tudjuk, hogy illeszkedik az A pontra és merőleges az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f egyenes (A-tól különböző) metszéspontjának koordinátáit! Témakör: *Valószínűségszámítás (kombinatorika) (Azonosító: mmk_201310_2r18f ) a) Egy memóriajáték 30 olyan egyforma méretű lapból áll, melyek egyik oldalán egy-egy egész szám áll az 1, 2, 3, … 14, 15 számok közül. Mindegyik szám pontosan két lapon szerepel. A lapok másik oldala (a hátoldala) teljesen azonos mintázatú. A 30 lapot összekeverjük. A játék kezdetén a lapokat az asztalra helyezzük egymás mellé, hátoldalukkal felfelé fordítva, így a számok nem látszanak. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a játék kezdetén két lapot véletlenszerűen kiválasztva a lapokon álló számok megegyeznek! b) Egy dominókészlet azonos méretű kövekből áll. Minden dominókő egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma kő nem lehet egy készletben. Az ábrán két kő látható: a 4-4-es és a 0-5-ös (vagy 5-0-ás). Hány kőből áll egy dominókészlet?
c) A „Ki nevet a végén?” nevű társasjátékban egy játékos akkor indulhat el a pályán, amikor egy szabályos dobókockával 6-ost dob. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy valaki pontosan a harmadik dobására indulhat el a pályán!
|
||||||||||||||||||
|