1. A 0, 1, 2, ... 9 számjegyeket mind felhasználva készíts egy olyan 10 jegyű számot, amelynek az első két jegyéből álló szám osztható 2-vel, az első háromból álló 3-mal, és így tovább egészen magáig a számig, ami legyen osztható 10-zel!
Megoldás

2. Bizonyítsd be, hogya) 1357...19871989 + 246...19881990 osztható 1991-gyel!b) 246...19901992 - 1357...19891991 osztható 1993-mal!
Megoldás

3. Az ünnepi könyvhéten három bolt összesen 1990 db könyvet adott el. Az első három napon az egyik bolt az általa eladott könyveknek rendre az 1/37, 1/11, 1/2 részét adta el, a másik az 1/57, 1/9, 1/3 részét, míg a harmadik rendre az 1/25, 1/30, illetve az 1/10 részét. Mennyi könyvet adtak el az egyes boltok a könyvhéten?
Megoldás

4. Keresd meg a legkisebb olyan természetes számot, ami 56-ra végződik, osztható 56-tal, és számjegyeinek összege éppen 56!
Megoldás

5. A sakktáblán úgy vannak elhelyezve figurák, hogy minden sorban és minden oszlopban legalább 2 bábú található. Biztosak lehetünk-e benne, hogy ebben az esetben le lehet venni a tábláról néhány figurát úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban pontosan 1 figura álljon?

És ha eredetileg minden sorban és oszlopban pontosan 2 bábú állt?
Megoldás

6. Egy 3x3-as táblázatban elhelyeztünk 9 számot. Egy ilyen táblázatot bűvös négyzetnek nevezünk, ha a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét főátlóban ugyanaz az érték. Bizonyítsd be, hogy a bűvös négyzet fölső sorában álló számok négyzetének összege megegyezik az alsó sorban álló számok négyzetösszegével!
Megoldás

7. A négyzethálós füzet egy 9x9-es négyzetében, a határokat is beleszámítva, összesen 100 rácspont van. Két játékos felváltva lép, az egyik mindig egy két szomszédos rácspontok közötti vízszintes, a másik egy függőleges szakaszt húz be. Az a játékos, aki legutóbbi lépésével 1x1-es kis négyzetet hozott létre, az beszínezheti a négyzetet saját színével. Addig játszanak, amíg a teljes 9x9-es négyzetet be nem színezik, és az nyer, aki nagyobb területet tudott saját színével befesteni.

Van-e a kezdőnek nyerő stratégiája? Vagy a második játékosnak van? Ha igen, akkor mi az?
Megoldás

8. Egy sorban 1990 db szám áll, csupa +1 és -1. Mindegyik két szomszédos szám alá leírjuk a szorzatukat, miáltal egy újabb számsorhoz jutunk, ami már csak 1989 db számból áll. Ezt a műveletet többször is végrehajtjuk, egészen addig, amíg egy egyetlen számból álló "sorhoz" nem jutunk. Bizonyítsd be, hogy ha az első sorban van -1-es, akkor a létrejövő számháromszögben legalább 1990 db -1-es lesz!
Megoldás

9. Beszínezzük a koordinátarendszer rácspontjait. Egyetlen szabályt kell betartanunk: az (a; b) pontnak ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az (a-b; a) és az (a; b-a) pontnak, bármely egész számokat is jelölje a és b. Következik-e ebből, hogy aa) (19; 90) és a (1990; 3383)b) (234; 1001) és a (611; 7007)

pontok egyforma színűek lesznek?
Megoldás

10. Van 9 kg lisztünk, egy 50 és egy 200 grammos súlyunk és egy kétkarú mérlegünk.a) Hogyan lehet kimérni 2 kg lisztet három mérés segítségével?b) El lehet-e végezni a mérést az 50 grammos súly nélkül?
Megoldás

11. Bizonyítsd be, hogy a háromszög leghosszabb oldalához tartozó magassága nem hosszabb, mint ugyanennek az oldalnak egy tetszőleges pontjából a másik két oldalra állított merőleges szakaszok hosszának az összege!
Megoldás

12. Keress 3 olyan kilencjegyű számot, amelyek mindegyikében az 1, 2, ...,9 számok mindegyike szerepel, és amelyek közül valamelyik kettő összege épp a harmadikkal egyenlő!
Megoldás

13. Nagyi almával kínálta unokáit. A legkisebbnek 1 almát adott és még a maradék 1/10 részét, a másodiknak 2 almát és még a maradék 1/10-ét, a harmadik 3 almát és még a maradék 1/10-ét, és így tovább egészen addig, míg almái el nem fogytak. Kiderült, hogy így mindegyik unoka éppen ugyanannyi almát kapott. Hány unokája volt a nagymamának és mennyi almát kaptak?
Megoldás

14. Öttevényben a telefonszámok ötjegyűek és az első számjegy nem lehet a nulla. "Menő"-nek tartják azokat a számokat, amelynek jegyei csökkenő vagy növekvő sor-rendben következnek egymás után, (Így például az 12459 menő szám, de az 11234 és az 10345 nem azok.) Határozd meg az összes lehetséges öttevényi menő telefon-szám számát!
Megoldás

15. Melyek azok az n természetes számok, amelyek rendelkeznek az alább megadott tulajdonsággal?

Amennyiben az x₁, x₂, ...x_n számokra teljesül az x₁+ x₂+ ...+ x_n = 0

összefüggés, akkor az

x₁ⁿ+x₂ⁿ + ...+ x_nⁿ = nx₁x₂...x_n

összefüggés is teljesül.
Megoldás

16.

Hányféleképpen lehet kiolvasni az 1. ábráról az ÚTVONAL szót, ha csak annyi megkötést teszünk, hogy minden betűről csak jobbra, vagy jobbra egyet föl, vagy jobbra egyet le léphetünk tovább? Melyik betűt kell elhagyni a táblázatból, hogy a lehetőségek száma 145 legyen?
Megoldás

17. Néhány traktornak, amelyek mindegyike egymagában napi 15 hektárt tud fölszántani, együttesen bizonyos egész számú napra van szüksége ahhoz, hogy fölszántsanak egy 300 hektáros földet. Még hány traktorra lenne szükség ahhoz, hogy hat nappal hamarabb befejezzék a munkát?
Megoldás

18. Az ABCD rombusz A-nál lévő belső szöge 60^o-os. AD-n az N, továbbá a DC oldalon az M pont úgy van fölvéve, hogy a BNM háromszög egyik szöge 60^o-os. Bizonyítsd be, hogy a BNM háromszög szabályos!
Megoldás

19. Adott a síkon az ABC szabályos háromszög. Keresd meg a sík összes olyan M pontját, amelyre az ABM és az ACM háromszög is egyenlőszárú!
Megoldás

20. András és Balázs 200 gyufával játszik. Először jön András, aki 6 kupacba osztja őket. Ezután jön Balázs, aki kiválaszt két kupacot és a bennük található gyufák számát kiegyenlíti úgy, hogy a kisebbiket felnöveli valamelyik további kupacból vett gyufákkal. A kiegyenlítéshez használt gyufák András nyereségének számítanak, így Balázs arra törekszik, hogy minél kevesebb gyufát használjon. Mekkora kupacokat hozzon létre András, hogy maximalizálja a nyereségét?
Megoldás

21. A sakktábla sorait és oszlopait megszámozzuk 1-től 8-ig. Ezután fölrakunk 8 bástyát a táblára úgy, hogy ne üssék egymást. Minden bástyánál kiszámoljuk a sora és az oszlopa számának szorzatát, majd képezzük ezen szorzatok összegét. Bizonyítsd be, hogy ha a bástyákat az eredeti elhelyezéshez képest középpontosan tükrösen helyeznénk föl a táblára, akkor ugyanazt a szorzatösszeget kapnánk!
Megoldás

22. Egy háromszög egyik belső szöge 60^o-os, a szög melletti oldalai pedig 2, illetve 3 egység hosszúak. Darabold föl a háromszöget 3 részre úgy, hogy a részekből össze lehessen állítani egy szabályos hatszöget!
Megoldás

23. Keress két olyan hétjegyű számot, amelyeknek az összege, különbsége, és az egyikük jegyeinek az összege is egy-egy egész szám faktoriálisával legyen egyenlő!
Megoldás

24. Bizonyítsd be, hogy nem létezik két olyan (paralelogrammától különböző) trapéz, hogy bármelyikük szárai egyenlő hosszúak legyenek a másik alapjaival!
Megoldás

25. Keress olyan négyjegyű számot, amely jegyeinek összege megegyezik a szám és 2011 különbségével!
Megoldás

26. Adott egy papírlap, amit egy bizonyos számú részre szeretnénk szétvágni. Egy lépésben azonban a lapot csak 6 vagy 12 részre darabolhatjuk föl. Az eljárás során lét-re-jövő részeket úgy hagyhatjuk, vagy bármelyiket szétvághatjuk 6 vagy 12 részre. Elérhető-e ezzel a módszerrel, hogy éppen 40 (nem feltétlenül egyforma méretű) papírdarabot kapjunk?

Bizonyítsd be, hogy tetszőleges 40-nél nagyobb számú részre szétvágható a papír!
Megoldás

27. Adva volt öt szám. Ezekből képeztük az összes lehetséges háromtagú összegeket. A következő értékeket kaptuk: 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 és 17. Mi lehetett a kiindulásul vett öt szám?
Megoldás