96. Egy sorozat első eleme 439, és a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az első tag számjegyeinek összegét megszorozzuk 13-mal. Határozd meg a sorozat 99. elemét!
Megoldás

97. Keresd meg az összes olyan természetes számot, amelyben a jegyek szorzata 885 és 895 közé esik!
Megoldás

98. Az a oldalú négyzetet az AN, BK, CL, DM egyenesekkel részekre bontottuk (lásd a 8. ábrát!). Bizonyítsd be, hogy ha a sötét négyszög területe megegyezik a halványabban satírozott háromszögek területének összegével, akkor AM + BN + CK + DL = 2a!
Megoldás

99. Az A, B, C egész számokra fennáll az alábbi összefüggés:

A^.(A + B) = B^.(B + C) = C^.(C + A).

Bizonyítsd be, hogy A = B = C!
Megoldás

100. Egy berendezés 100 világító gombból áll. A gombok 10 sorban és 10 oszlopban helyezkednek el. Egy gomb megnyomásakor az ugyanabban a sorban illetve oszlopban elhelyezkedő gombok egyszerre váltanak: az addig világítóak kialszanak, a kikapcsoltak meggyulladnak. Legalább hány gombot kell megnyomni ahhoz, hogy az összes gomb kialudjék, ha eredetileg mind világított?
Megoldás

101. Keresd meg az összes olyan természetes számot, amit nem lehet előállítani néhány (legalább kettő) egymást követ? természetes szám összegeként!
Megoldás

102. Az ABCD konvex négyszög olyan, hogy a DAC és DBC szögek szögfelezői a CD oldalon metszik egymást. Bizonyítsd be, hogy az ADB és az ACB szögek szögfelezőinek metszéspontja az AB oldalra esik!
Megoldás

103. Palindromnak nevezzük azokat a szavakat, amelyeket hátulról is kiolvashatjuk, mert ugyanazt kapjuk, mintha elölről olvasnánk. Palindrom szavak például a SARAS vagy a MEREM. Valaki fölírt a táblára egy csupa A-ból és B-ből álló 1995 betűs sorozatot. Bizonyítsd be, hogy ezt a sorozatot biztosan föl lehet bontani legfeljebb 800 olyan rövidebb sorozatra, “szóra”, amelyek mindegyike palindrom! (Pld. ABAAAB egy felbontása: [ABA][AA][B].)
Megoldás

104. Járd be a királlyal a sakktáblát úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépj, és közben váltogasd az átlós és nem átlós lépéseket! Meg tudod-e ugyanezt tenni 9x9-es táblán?
Megoldás

105. 6 egyformának látszó pénzérménk van, amelyek közül azonban néhány hamis, könnyebb az igazinál. Hogyan lehet egy kétkarú mérleg segítségével, legfeljebb négy méréssel, segédsúlyok használata nélkül kiválasztani az összes hamis érmét?
Megoldás

106. Keresd meg az összes olyan természetes számot, amelyik egyenlő valamely két különböző osztója összegének kétszeresével!
Megoldás

107. Egy nyolcfős baráti társaság hétszer jött össze beszélgetni az Artúr sörözőben. Mindig a kerek asztalhoz ültek, és az utolsó alkalommal megállapították, hogy közülük bármelyik két ember pontosan kétszer ült egymás mellett. Lehetséges-e ez?
Megoldás

108. Adott a síkon néhány, de legalább öt kör. Tudjuk, hogy közülük bármelyik háromnak van közös pontja. Bizonyítsd be, hogy az összes körnek is van egy közös pontja!
Megoldás

109. Bizonyítsd be, hogy 1991^.1993^.1995^.1997 + 16 négyzetszám!
Megoldás

110. Adott a síkon két kör, az egyiken az A és B, a másikon a C és D pontok úgy, hogy az AB egyenes átmegy az első kör középpontján és érinti a másikat, míg a CD egyenes átmegy a másik kör középpontján és érinti az elsőt (9. ábra). Bizonyítsd be, hogy az AD, BC egyenesek párhuzamosak!
Megoldás

111. Legfeljebb mekkora n esetén helyezhet? el a sakktáblán n vezér, n király és n futó úgy, hogy ne üssék egymást?
Megoldás

112. Van-e 1995 db olyan nem feltétlenül különböző szám, amelyek összege megegyezik a szorzatukkal?
Megoldás

113. A és B egy 1x9-es táblán egy bábúval játszik. A játék első részében A megszámozza a tábla mezőit az 1, 2, ... 9 számokkal. Ezután B választ egy mezőt, és arra helyezi fel a bábút. A játék második részében is A kezd. Felváltva lépnek a bábúval úgy, hogy mindig az egyik szomszédos mezőre helyezik át. Vigyázni kell, mert csak annyiszor lehet rátenni a bábút egy-egy mezőre, amekkora szám van írva arra az adott mezőre. Az veszt, aki már nem tud lépni. Kinek van nyer? stratégiája?
Megoldás

114. Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög síkjában egyetlen egy olyan M pont van, amelyre MA + BC = MB + AC = MC + AB!
Megoldás

115. Aladár beírta az 1, 2, ... 81 számokat egy 9x9-es táblázat mezőibe. Boldizsár ki szeretné találni, hogy melyik szám hol van. De csak úgy kérdezhet, hogy kijelöli a táblázat egy rácsvonalak határolta négyzet alakú részét. Válaszul Aladár felsorolja a kijelölt részben található számokat, a kedve szerinti sorrendben. Minimum hány kérdésre van szüksége Boldizsárnak ahhoz, hogy biztosan kitalálja melyik szám hol van?
Megoldás