T. 304 A táblán egymás mellett száz darab 7-es látható. Plusz és mínusz jeleket helyezhetünk közéjük, ahová tetszik (ahová nem teszünk jelet ott a számjegyek egy többjegyű számot alkotnak). Lehet-e az így kapott kifejezés értéke 1997?

T. 305 Beírhatók-e az 1, 2, ..., 9 számok egy 3×3-as táblázat mezőibe úgy, hogy bármelyik két (függőlegesen vagy vízszintesen) szomszédos szám összege prímszám legyen?

T. 306 Bizonyítsd be, hogy minden konvex négyszöget fel lehet darabolni négy olyan négyszögre, amelyek mindegyike paralelogramma vagy trapéz!

T. 307 Az első Föld-Mars találkozón kiderült, hogy a marslakók lába épp olyan, mint az embereké, de a kezek és rajtuk az ujjak száma már más. Noha a marslakók hattal többen voltak, mint a földiek, ujjaikból (a kezeket és s lábakat is figyelembe véve) összesen 1-gyel kevesebb volt. Hány résztvevője volt az első találkozónak?

T. 308

Rajzolj egy olyan minél kevesebb oldalú önátmetszés nélküli zárt töröttvonalat, amely az ábrán látható 12 szakasz mindegyikét metszi, de a 9 végpont egyikén sem megy át!

T. 309 Három versenyző egy köralakú biciklipályán megy körbe-körbe, mindhárman állandó, de különböző sebességgel haladnak. Tudjuk, hogy bármelyik két versenyző a pályának pontosan k helyén találkozik egymással. Bizonyítsd be, hogy k páratlan szám!

T. 310 n erszény mindegyikében 20 érme van. Külsőre mindegyik érme egyforma, de az egyik erszényben mindegyik érme 1 g-mal nehezebb, egy másik erszényben pedig mindegyik érme 1 g-mal könnyebb, mint a többi érme, amelyek mind azonos tömegűek. Az érmék tömegének három lehetséges értéke ismert. Mely n esetén lehet a rugós-mutatós mérőműszer egyszeri használatával meghatározni, hogy mely erszényekben milyen tömegű érmék vannak?

T. 311 Van-e négy olyan különböző pozitív egész, amelyek közül mindegyik osztható a másik három közül bármelyik kettő különbségével?

T. 312 Hány megoldása van a 19[x] + 97{x} = 1997 egyenletnek? (Itt [x] az x egészrészét, míg {x} a törtrészét jelöli.)

T. 313 Adott egy 4 m oldalú négyzetlap és egy 1 m sugarú félkörlap. A félkörlap úgy mozog, hogy átmérőjének végpontjai mindig a négyzetlapon vannak. Határozd meg annak az alakzatnak a területét, amelyet a félkörlap végig tud söpörni? Válaszoljunk a kérdésre abban az esetben is, amikor az átmérő két végpontja csak a négyzet határoló vonalán mozoghat és a félkör mindig befelé áll a négyzethez viszonyítva!

T. 314 Egy konvex négyszög belsejében fölvett pontot összekötöttünk a négyszög csúcsaival. Így a négyszöget négy egybevágó háromszögre osztottuk fel. Biztosak lehetünk-e benne, hogy a négyszög rombusz?

T. 315 N cédulát megszámoztunk 1-től N-ig, majd két csoportba osztottuk őket. Melyik az a legkisebb N, amely esetén már biztosak lehetünk benne, hogy van két olyan, azonos csoportban található cetli, amelyen a két szám összege négyzetszám?

T. 316 Lolka és Bolka pogácsát és fagylaltot vett. Lolka 7 pogácsáért és 9 gombóc fagyiért több mint 20 petákot fizetett, míg Bolka x pogácsáért és 16 gombóc fagyiért 42 petáknál kevesebbet költött. x mely értékei esetén lehetünk biztosak benne, hogy egy gombóc fagyi drágább egy pogácsánál, ha tudjuk, hogy a pogácsa nem olcsóbb 0,01 petáknál?

T. 317

Bizonyítsd be, hogy akárhogy is helyezünk el hat darab három mezőből álló "sarkot" a sakktáblán úgy, hogy mindegyik lap pontosan három mezőt takarjon, mindig lesz közöttük olyan, amelyiket el tudjuk mozgatni a táblán belül úgy, hogy a többi lapot nem mozdítjuk meg.

T. 318 Amikor a ceruza már csak 2 centiméter hosszú, csak egy "ceruzavég" maradt belőle, akkor pontos rajzolásra már alkalmatlan, kidobják. Egy grafikus ceruzákat vett a papírboltban: 4 egyforma tízes csomag hosszú ceruzát, 6 egyforma doboz közepes ceruzát (ezek 3 centiméterrel rövidebbek a hosszúaknál), valamint 9 egyforma doboz rövid ceruzát (ezek feleakkorák, mint a hosszúak). Utóbb kiderült, hogy a hosszú ceruzákkal összesen ugyanannyit tudott rajzolni, mint a közepesekkel, és ugyanannyit, mint a rövidekkel. Összesen hány centiméternyi ceruzavég keletkezett, ha tudjuk, hogy mindegyik ceruza eredetileg legalább 5 centiméter volt?

T. 319 Bizonyítsd be, hogy ha a, b és c különböző egész számok, akkor is egész szám!

T. 320

Az ábrán egy állam városainak elhelyezkedése és a köztük épített utak hálózata látható. Be lehet-e járni az állam városait az utakon úgy, hogy minden várost pontosan egyszer keressünk föl?

T. 321 Két sokszög távolságán értsük ezentúl a két sokszög területe összegének és közös részük területe kétszeresének különbségét! Bizonyítsd be, hogy két sokszög távolsága nem lehet nagyobb, mint egy harmadik sokszögtől való távolságaik összege!

T. 322 Tudjuk, hogy egy bizonyos n pozitív egész számra az n³ | 3, n³ | 9, n³ | 27, n³ | 81 állítások között van igaz is, hamis is. Meg lehet-e ennek alapján mondani, hogy hány állítás igaz a négyből?

T. 323 Egy háromszög beírt körének az oldalakkal való érintési pontjain át párhuzamost húztunk a szemközti szög szögfelezőjével. Mutassuk meg, hogy az így kapott három egyenes egy ponton megy át!

T. 324

Felcserélhetjük egymással egy táblázat bármelyik két sorát vagy bármelyik két oszlopát. Megkapatóe ilyen műveletekkel az ábrán látható baldali táblázatból a jobb oldali táblázat?

T. 325 Tekintsük az összes olyan valódi törtet, köztük az egyszerűsíthetőket is, melyek nevezője legfeljebb 1997. Fel lehet-e osztani ezeket két csoportra úgy, hogy a két csoportban az elemek száma, és az elemek összege is egyenlő legyen egymással?

T. 326 Lewis Carrol ezt az elszámolást küldte unokahúgának:

	Font	Schilling	Penny
Egy ellopott kesztyű		2	0
A veszteség miatti fájdalom		3	8,5
A fokozott nyugtalanság		4	4,5
Az okozott kellemetlenség		14	7
A tolvaj keresése miatti időveszteség		1	6
ÖSSZESEN	1	6	2

Meg lehet-e ennek alapján határozni, hogy egy font az hány schilling, illetve egy schilling az hány penny, ha tudjuk, hogy egy font az több schilling, mint ahány penny egy schilling?

T. 327 Egy játék 1´1997-es táblájának mezői kezdetben üresek és balról jobbra 1-től 1997-ig számozottak. A két játékosnál egy-egy zsákban kellően sok figura van. A játékosok felváltva lépnek: egy lépésben vagy fölteszik a zsákjukból kivett egyik figurát az egyik üres mezőre, vagy átteszik bármelyik, már a táblán lévő bábút, a tőle jobbra található legközelebbi üres mezőre (ha egyáltalán van ilyen). Az veszít, aki nem tud lépni. Kinek van nyerő stratégiája, annak, aki kezd, vagy a másik játékosnak?

T. 328 Bizonyítsd be, hogy 1994^.1995×1996^.1998×1999^.2000 + 36 négyzetszám!

T. 329 Vágj szét két egyenessel egy előre adott rombuszt négy olyan négyszögre, amelyekbe és amelyek köré is írható kör!

T. 330 Egy kör kerületére 16 különböző pozitív egész számot írunk és megjelöljük közülük azokat, amelyek egyenlők a két szomszédjuk összegével. Legfeljebb hány számot jelölhetünk így meg?

T. 331 A "Szerelem első látásra" című műsorban nyolc leány és nyolc fiatalember vett részt. Minden fiatalember a többi résztvevő közül 14 emberrel, minden leány 7 emberrel veszett össze (az összeveszések kölcsönösek). Bizonyítsd be, hogy a résztvevők közül kialakítható 8 pár úgy, hogy a párok tagjai ne legyenek egymással összeveszve!

T. 332 Öt párhuzamos húr a kört 10 ívre osztja. Tudjuk, hogy bármelyik ív két szomszédja egymással egyenlő hosszú. Bizonyítsd be, hogy a középső és a két szélső húr hosszának összege egyenlő a további két húr hosszának összegével!

T. 333 Be lehet-e osztani 100 súlyt, melyek tömege 1, 2, 3, ..., 100 gramm, 10 csoportba úgy, hogy bármelyik két csoportban különbözzön egymástól a súlyok össztömege, és a könnyebb csoportban mindig több darab súly legyen, mint a nehezebben?

T. 334 Hány 13-mal osztható szám van az 1, 11, 111, ... számsorozat első száz tagja között?

T. 335 Péter és Pál 13 cetlivel játszanak, amelyek meg vannak számozva 1-től 13-ig. Kezdetben a cetlik mind az asztalon vannak. Péter és Pál felváltva húznak közülük egyet-egyet, míg nem marad az asztalon egy sem. Péter kezd és arra törekszik, hogy az általa kihúzott cetliken a számok összege prímszám legyen. Meg tudja-e Pál ebben akadályozni?

T. 336 Péter egy 10 cm oldalú négyzet belsejében egy 1 cm oldalú négyzetet helyezett el, amelynek oldalai a nagy négyzet oldalaival párhuzamosak. Pál ki szeretné találni, hogy pontosan hol helyezkedik el Péter kis négyzete. Ha Pál kijelöl egy tetszőleges sokszöget, akkor Péter megmondja, hogy annak hány cm² a kis négyzettel való közös része. Elegendő-e két ilyen "kérdés" a kis négyzet megtalálásához?

T. 337 Legfeljebb mekkorára növelhető az 1997 darab 1-est tartalmazó kifejezés értéke zárójelek ügyes elhelyezésével?

T. 338 A táblára föl volt rajzolva az y = ax + b és az y = bx + a függvény grafikonja. A táblát letörölték, csak a két grafikon ordinátatengellyel való, illetve egymással vett metszéspontja látható. Hogyan lehetne visszarajzolni az abszcisszatengelyt, ha tudjuk, hogy a ¹ b, de a és b konkrét értékét nem ismerjük?

T. 339

A 3^.5-ös táblán balról jobbra kell átjutnunk (ezért az első és az utolsó lépésnek vízszintesnek kell lennie) úgy, hogy minden lépésben egy mezőről egy vele oldalszomszédos másik mezőre léphetünk át, és egyik mezőre sem léphetünk kétszer. Hányféleképpen lehetséges ez? Az ábrán egy lehetőség látható a sok közül.

T. 340 Egy sorozatot a következőképpen adtak meg: a₁ = 19, a₂ = 97, a_n+2 = (a_n+1+ 1)/ a_n, ahol n tetszőleges pozitív egész. Határozd meg a₁₉₉₇ értékét!

T. 341 Az egyik évben három egymást követő hónap mindegyikében négy vasárnap volt. Bizonyítsd be, hogy ezek közül az egyik hónap biztosan február volt!

T. 342 Vannak-e olyan egymástól különböző a, b, c, d, e és f pozitív egészek, amelyekre

T. 343 A C₁, A₁ és B₁ pontok rendre az ABC háromszög AB, BC és CA oldalain helyezkednek el, míg az C₂, A₂ és B₂ pontok rendre az C₁B, A₁C és B₁A szakaszokon. Tudjuk, hogy a C₁A₂, C₂B₁ és az A₁B₂ szakaszok egy ponton mennek át és párhuzamosak az ABC háromszög oldalaival. Bizonyítsd be, hogy az A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ háromszögek területe egyenlő egymással!

T. 344

Egy 4^.4-es táblázatban 16 szám volt. Az ábrán látható táblázatot úgy kaptuk az eredetiből, hogy egy lépésben egyszerre minden számot helyettesítettünk a sorában és oszlopában álló másik hat szám számtani közepével. Hogyan volt kitöltve az eredeti táblázat?

T. 345 Legalább hányféle számjegyre van ahhoz szükség, hogy megadjunk 16 olyan háromjegyű számot, amelyek közül bármelyik kettőnek különböző a16-os maradéka?

T. 346 10 érme, melyek között van szabályos - 10 grammos -, és hibás - 9 grammos - is egymás mellé van téve. Tudjuk, hogy minden szabályos érme balra van mindegyik hibás érmétől. Ki lehete választani egy kétkarú mérleg kétszeri használatával, segédsúlyok használata nélkül, a hibás súlyokat?

T. 347 Adj meg három háromszöget, amelyekből kirakható (a darabok átfedése nélkül) háromszög is, konvex négyszög is, és konvex ötszög is! (Az egyes összeállításokban mindegyik háromszöget föl kell használni, és a háromszögeket el is lehet forgatni.)

T. 348 Azért, hogy meg tudja különböztetni őket Péter két teljesen egyforma fehér kockán megjelölt 5-5 csúcsot egy-egy fekete pöttyel. Bizonyítsd be, hogy Pál egy-egy pötty letör-lésével elérheti, hogy a két kocka újra megkülönböztethetetlen legyen egymástól!

T. 349 Bizonyítsd be, hogy az

egyenlőtlenség bármely x, y, z számra teljesül!

T. 350 Egy üvegben egy amőbából 1997 keletkezett úgy, hogy minden másodpercben vagy elpusztult egy amőba, vagy néhány amőba mindegyike 6-6 amőbára osztódott. Legalább mennyi időre volt ehhez szükség?