76. Bizonyítsd be, hogy 1993^.1995³ - 1994^.1992³ egy egész szám köbe!
Megoldás

77. El lehet-e helyezni 8 pontszerű súlyt, melyek tömege rendre 1, 2, ... 8 kg, egy kocka nyolc csúcsába úgy, hogy tömegközéppontjuk a kocka középpontjával egyezzék meg?
Megoldás

78. Szerkessz háromszöget körző és vonalzó segítségével, ha adott a súlypontja, köréírható körének középpontja, továbbá a köréírt körnek és az egyik szögfelezőnek, a csúcstól különböző metszéspontja!
Megoldás

79. Két egymást követő szám mindegyike megegyezik saját számjegyei köbének összegével. Melyek ezek a számok?
Megoldás

80. Melyik az a legkisebb x pozitív szám, amelyre

a)

b)

Itt [a] az a szám egészrészét, tehát a legnagyobb a-nál nem nagyobb egész számot jelöli, míg {a} = a – [a], az a törtrésze.
Megoldás

81. Néhány évvel a Délnyugati Birodalom széthullása után a területén létrejött 16 hercegség mindegyike 3 másikkal barátságban élt, a többivel pedig ellenségeskedett. A hajdani birodalom szomszédságában található 8 állam elhatározta, hogy segítséget nyújt a viszályokban tönkrement hercegségeknek, méghozzá mindegyik állam 2 egymással barátkozó hercegségnek nyújt támogatást. Meg lehet-e szervezni minden esetben a segélyezést úgy, hogy mindegyik hercegség részesüljön belőle?
Megoldás

82. Mely m és n természetes számokra teljesül a

összefüggés?
Megoldás

83. Az 1x50-es tábla 50. mezőjén áll egy bábú. Ketten játszanak, felváltva lépnek a bábúval. Egy lépésben 1 vagy 2 mezővel lehet arrébb helyezni a bábút bármelyik irányban. Tilos olyan mezőre lépni, amelyiken egyszer már volt a bábú. Az veszt, aki nem tud lépni. Kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy ellenfelének?
Megoldás

84. Van-e olyan 11-re végződő szám, ami osztható 11-gyel és számjegyeinek összege 11?
Megoldás

85. Az ABC háromszög A, B, C csúcsaiból rendre meghúztuk a háromszög egy-egy szögfelezőjét, súlyvonalát és magasságát. E három egyenes egy O pontban metszette egymást. Bizonyítsd be, hogy amennyiben AB a háromszög leghosszabb oldala, akkor BO > AO, ha viszont AB a legrövidebb oldal, akkor BO < AO!
Megoldás

86. Egy 4x4-es négyzet egységnyi oldalú négyzetekre van osztva. A kis négyzetek oldalai egy rácsot alkotnak. Ki lehet-e rakni ezt a rácsot 8 db 5 egység hosszúságú cérnából? És 5 db 8 egység hosszúból?
Megoldás

87. Malacka és Zsebibaba ugyanazt az egész számot osztják el maradékosan. Zsebibaba 8-cal, Malacka 9-cel oszt. A Zsebibaba által kapott hányados és a Malackánál kapott maradék összege 13. Milyen maradékot kapott Zsebibaba?
Megoldás

88. Lehet-e valamely egész helyen éppen 1994 egy olyan egész együtthatós P(x) polinomnak az értéke, amelyre P(0) = 1995 és P(1) = P(5) = 0?
Megoldás

89. Infláciban gyakran emelik a villamos közlekedés díját. A jegy árát ilyenkor a jegy nélkül utazókra kirótt büntetés mértékére emelik, a büntetés pedig mindig az éppen érvényes jegy árának 10-szerese. Makacs Tamás elvi kérdést csinál abból, hogy ne vegyen jegyet, így már 9-szer büntették meg. Ráadásul az egyik alkalommal fizetés közben elejtett, és így elvesztett egy “nagy értékű” bankót. Így Tamásnak eddig 23450 Ft-ja ment rá a villamosozásra. Hány forintos bankót vesztett el Tamás?
Megoldás

90. Egy 6x6-os táblázat mezőibe úgy írtunk be 36 –nem feltétlenül különböző- számot, hogy a 22 átló mindegyikében ugyanakkora a számok összege. Mekkora lehet ez az összeg? (Az átlókban 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 mező áll.)
Megoldás

91. Melyik a nagyobb, (1^.3^.5^.7^....^.1993)² vagy 1993⁹⁹⁷?
Megoldás

92.

4 kör úgy helyezkedik el, ahogyan az a 7. ábrán látható. A körökön belül létrejött 10 tartományba úgy kell beírni a 0, 1, ... 9 számokat, hogy az egyes körökön belüli számok összege egyenlő legyen egymással. Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg?
Megoldás

93. Az ABC egyenlőszárú háromszög BC szárán adott az M, az MC szakaszon pedig az N pont úgy, hogy MN = AN. Tudjuk, hogy a BAM és az NAC szögek egyenlőek. Határozd meg az MAC szög nagyságát!
Megoldás

94. Bizonyítsd be, hogy végtelen sok olyan nem nullára végződő pozitív egész szám van, amelyben a jegyek összege megegyezik a szám négyzete jegyeinek összegével!
Megoldás

95. Helyezz el 16 fehér és 16 fekete bábút a sakktábla különböző mezőire úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és mind a harminc átlóban a fekete bábúk száma megegyezzék a fehérekével! (Az egyes átlókban 1, 2, 3, ... 7, vagy 8 mező áll.) Meg lehet-e ugyanezt tenni 15 fekete és 15 fehér bábúval?
Megoldás