28. Észre kell venni, hogy az alsó szinteken lakó gyerekeknek esetleg nem érdemes használniuk a liftet. Az a legjobb, ha 13-an mennek fel a lifttel a 13. emeletre.

29. Lásd a 19. ábrát!

	1	2	3	4	5	6	7	8	N	D	V	L	K
1	*		0:0			1:0	1:0	1:0	3	1	0	3	0
2		*			1:0	1:0	1:0	1:0	4	0	0	4	0
3	0:0		*		0:0	1:1	0:0		0	4	0	1	1
4				*	1:0	1:0	1:0	1:0	4	0	0	4	0
5		0:1	0:0	0:1	*			2:0	1	1	2	2	2
6	0:1	0:1	1:1	0:1		*			0	1	3	1	4
7	0:1	0:1	0:0	0:1			*		0	1	3	0	3
8	0:1	0:1		0:1	0:2			*	0	0	4	0	5

19. ábra

N: nyert, D: döntetlen,

V: vesztett mérkőzések száma;

L: lőtt gólok száma,

K: kapott gólok száma.

30. Lásd a 20. ábrát!

31. 1:2:3:4:5:(6:7:8:9:10) = 7.

32.

El lehet helyezni a dominókat. Egy megfelelő elhelyezés látható a 21. ábrán.

33. Okoskodjunk indirekt úton, felhasználva, hogy a 3 súlyvonal 6 egyenlő területű rész--re osztja a három-szöget, és feltéve, hogy a P pont az egyik ilyen rész belsejében van.

34. Ez a szám az 1,125.

35.

Egy megoldást szemléltet a 22. ábra. Vágjuk be a papírt a dupla vonalak mentén és hajtsuk rá a satírozott részeket a nem satírozottakra!

36. 45 kopejka.

37. Bizonyítandó, hogy a)bármely bandita legfeljebb hat lövést kaphat;b)ha A hat lövést kap és A B-t lövi le, akkor B legfeljebb négy lövést kap;c) legalább tizen halnak meg.

38. A keresett oldalak: 422 és 593. A négyzetek oldalai kifejezhetők a 3 legkisebb négyzet oldalával. A téglalap szemközti oldalait kifejezve és egyenlővé téve két egyenletet kapunk. Ezek legkisebb egész megoldásait kell megkeresni.

39. 21 649 ^. 513 239 = 11 111 111 111. Részletesebben lásd a Bergengóc példatárban a 83. feladat megoldását a 153-156. oldalakon.

40. Tekintsük az ABCD téglalapot és a CD oldalon azt az E pontot, melyre AE párhuzamos CM-mel. Az EAN egyenlő az AN és CM egyenesek szögével. Bizonyítsd be, hogy az AEN háromszög egyenlő szárú.

41. A különleges óra 0⁰⁰ és 1⁰⁰ között jól jár, és még tízszer mutatja a pontos időt: 3 óra 60/11 perckor, 5 óra 120/11 perckor, ... 21 óra 600/11 perckor.

42. Számozzuk meg a székeket 1-től 12-ig az óra járásának megfelelően! Jelöljük a_i-vel annak a széknek a sorszámát, amelyen az az ember ült uzsonna után, aki a eredetileg az i-edik széken ült (i = 1, 2, ... 12.). Bizonyítsuk be, hogy az (i – a_i) számok között van két olyan, amelynek 12-es maradéka azonos.

43.

Toljuk el a négyzetet egyik oldalával párhuzamosan úgy, hogy egyik csúcsa (a 23. ábrán A? ) a sáv határára essék! Húzzuk be ebből a csúcsból a sáv magasságát (A'T)! Vegyük észre, hogy a létrejövő négy háromszög közül 2-2 egybevágó (A'B'R' @ A'TR' és A'TS' @ A'D'S')!

44. Husszein Husszlia az 5 és a 7 talléros erszényeket kapta.

45. A feltétel szerint

A = x + 2y + 5z + 10t + 20u + 50v + 100w,

B = x + y + z + t + u + v + w,

ahol x, y, z, t, u, v rendre az 1, 2, 5, 10, 20 és 50 kopejkások számát, míg w a rubelesek mennyiségét jelöli. A második egyenlet százszorosát így is írhatjuk:

100B = 100x + 50(2y) + 20(5z) + 10(10t) + 5(20u) + 2(50v) + 1(100w).

Jelölje most x a rubelesek 2y, 5z, 10t, 20u, 50v és 100w pedig rendre az 50, 20, 10, 5, 2, 1 kopejkások számát. Mit fejez most ki az első és a harmadik egyenlet?

46. Ha összeadjuk csapatonként a győzelmek számát ugyanannyit kapunk, mintha az egyes csapatok által játszott döntetlenek számát adnánk össze. Ez azt jelenti, hogy a mérkőzések harmada volt döntetlen. 17 csapat esetén a mérkőzések száma 17^.16/2 = 272, ami nem osztható 3-mal, így ebben az esetben nemleges a válasz. A másik két esetben lehet a feltételeknek megfelelő példát konstruálni.

47. Két megoldás van:

1 122 250 000 = 33 500²,

4 422 250 000 = 66 500².

48. . A CR szakasz két 60^o-os látókörívére illeszkednek a B, P, Q, A pontok. A létrejövő húrnégyszögekben a szemköztes szögek összege 180^o, ráadásul a két négyszög közös C csúcsánál a szögek 180^o-ra egészítik ki egymást.

49. Ez a két szám a 96420 és a 87531.

50. Ha az egyik főátló 8 mezőjét kivágjuk, akkor két részre esik szét a tábla. Érdemes figyelembe venni a sakktábla színezését. Kiderül, hogy 8 ugyanolyan színű mezőt vágtunk ki, mondjuk feketét. A létrejövő két részben 4-gyel, 4-gyel kevesebb fekete mező van, mint fehér. Egy dominó egy fekete és egy fehér mezőt fed le, így az átlóból mindkét részbe 4-4 dominónak kell "belógnia”.

51.

Lehetséges. Egy megoldás: mozgassuk a kockát egy 10 négyzetből álló téglalapban (lásd a 24. ábrát), ahol a kis négyzetek oldalai olyan hosszúak, mint a kocka élei. A görgetés útvonala: