52. Ha aranytallérokat ásol el a Csodaréten, akkor reggelre mindegyik tallérból egy-egy fácska nő ki, minden fán minden levél egy-egy aranytallér, mindegyik fán minden reggel ugyanannyi tallér. Boldizsár is eljött nehezen gyűjtött öt aranytallérjával egy pénteki napon a Csodarétre, hogy meggazdagodjék. Azt szerette volna, hogy legalább 1992 aranytallérja legyen. Amint kinőttek az első fák, Boldizsár rájött, hogy szerdánál előbb nem teljesülhet a vágya, de pénteknél tovább se kell várnia. Lehetséges-e, hogy végül épp 1992 aranytallérja lett?
Megoldás

53. Bizonyítsd be, hogy ha az a, b, c egész számokra teljesül az

ab + bc + ca = 0

összefüggés, akkor az abc szorzat fölírható egy négyzetszám és egy köbszám szorzataként!
Megoldás

54. Az n egység oldalú szabályos háromszöget az oldalaival párhuzamos egyenesekkel 1 egység oldalú szabályos háromszögekre bontottuk fel. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek csúcsai a létrejött háló rácspontjai között vannak?
Megoldás

55. A rozmár, a víziló, a pelikán és a bálna összesen 37 halat ettek meg. A bálna épp annyiszor több halat evett a pelikánnál, mint ahányszor többet evett a pelikán a rozmárnál. Mennyi halat ettek meg külön-külön?
Megoldás

56. Az M pontot az ABC háromszög belsejében vettük fel. Legyen L az M pontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok közül a legnagyobb, l pedig M-et a háromszög oldalfelezőpontjaival összekötő szakaszok közül a legkisebb. Bizonyítsd be, hogy L 2l !
Megoldás

57. Egy röplabdabajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. A verseny végén kiderült, hogy mindegyik csapat épp annyi mérkőzést nyert meg, mint ahányat az őt legyőző csapatok összesen nyertek. Hány csapat vett részt a bajnokságban?
Megoldás

58. 1988-ban kezdte el vetíteni a Bergengóc Televízió a “Térdig könnyben” című sorozatot. 1989-től minden évben vagy 40%-kal több, vagy 40%-kal kevesebb részt mutattak be, mint az előző évben. Hogy az ország gazdaságát ne tegyék teljesen tönkre, naponta legfeljebb két epizódot vetítettek. Az 1230-adik rész vetítésekor a nézők nagyon elszomorodtak, mert a főszereplők összevesztek, de épp két évre rá, 1992-ben, – mindenki nagy örömére – kibékültek. Kár, hogy ez egyben az utolsó rész volt!

Hány részből állt a sorozat?
Megoldás

59. Keress olyan hatjegyű számot, ami köbszám, és a jegyeinek ciklikus átrendezéséből adódó hat szám mindegyike osztható a szám köbgyökével!
Megoldás

60. Egy kocka lapjait 4-4 négyzetre osztottuk föl. Tekintsük azokat a kis szakaszokat, amelyek a kocka lapjain található összesen 24 négyzet közül egyszerre kettőnek is oldalai. Ezek közül 26 piros. Bizonyítsd be, hogy van olyan zárt töröttvonal, ami csupa piros szakaszból áll!
Megoldás

60. Nem nehéz megmutatni, hogy

2 osztható 2¹-vel,

3^.4 osztható 2²-nal,

4^.5^.6 osztható 2³-nal.

Fogalmazd meg a fenti állítások közös általánosítását, és bizonyítsd is be!
Megoldás

62. Egy füzetlap 33x41 kis négyzetből áll. Be lehet-e írni a számokat 1-től 33 x 41 = 1353-ig a négyzetekbe úgy, hogy minden 2x2-es négyzetben a számok összege ugyan-annyi legyen?
Megoldás

63. A taxisok egyesülete kirándulást szervezett egy iskola számára. Amikor az autós konvoj az iskola elé érkezett, akkor minden mikrobuszba 12 diák, a Volgákba pedig 7-7 diák szállt be. Később még három jármű érkezett, ami csökkentette a zsúfoltságot. Az átülés után minden mikrobuszban már csak 11-11, a Volgákban pedig 6-6 diák tartózkodott. Meg lehet-e oldani néhány újabb Volga és mikrobusz igénybevételével, hogy a személyautókban csak 5-5, a kisbuszokban pedig 10-10 diák üljön?
Megoldás

64. Ketten a következő játékot játsszák:

12 gyufa van az asztalon egy kupacban. A játékosok felváltva lépnek, minden lépésben vagy elvesznek egy vagy két gyufát a kupacból, vagy a már elvett gyufákból visszatesznek egyet vagy kettőt a kupacba. Minden lépésük után a játékosok felírják saját papírjukra a kupacban maradt gyufák számát. Az veszt, aki már csak úgy tud lépni, hogy papírjára egy már ott levő számot kelljen újra fölírnia.

Kinek van nyerő stratégiája?

És ha 13 gyufából áll a kupac?
Megoldás

65. Leírtuk sorban egymás után a pozitív négyzetszámokat:

149162536...

Melyik szám áll az 1993. helyen?
Megoldás

66. Egy pontosan járó óra nagy és kismutatója végpontjának egymáshoz viszonyított sebessége egy adott pillanatban 10 mm/s. Lehet-e egy másik pillanatban ez a relatív sebesség 8 mm/s? És 12 mm/s?
Megoldás

67. A négyzethálós füzetben adott három rácspont A, B és C. Az ABC éppen 45^o-os és az AB, BC szakaszok belsejében nincsenek rácspontok, csak a végpontok azok. Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög derékszögű!
Megoldás

68. Bizonyítsd be, hogy

(n + 1)¹⁹⁹³ + n¹⁹⁹³ + (n – 1)¹⁹⁹³ – 3n

bármely n természetes szám esetén osztható 10-zel.
Megoldás

69. Vettünk egy ötjegyű számot. Számjegyeit leírtuk fordított sorrendben is, így kaptunk egy másik ötjegyű számot. A két szám közül a nagyobbikból kivontuk a kisebbiket, így kaptuk az A számot. Ha megmondanám neked A utolsó három jegyét, ki tudnád-e találni A-t?
Megoldás

70. Keresd meg a természetes számokból álló összes olyan A, B, C számhármast, amelyre

AB + BC + CA = 2(A + B + C)!

Megoldás

71. A könyvszekrény egyik polcán áll Jules Verne összes műve nyolc kötetben. Sajnos a kötetek összekeveredtek. Kihúzhatjuk, balról jobbra számolva, a harmadik vagy a nyolcadik könyvet, és azt a sor elejére tehetjük. Bizonyítsd be, hogy ilyen lépésekkel elérhető, hogy a könyvek a helyes sorrendbe kerüljenek!
Megoldás

72. Melyik az a csupa különböző számjegyből álló ötjegyű szám, amelyik egyenlő a számjegyeiből alkotható összes háromjegyű szám összegével?
Megoldás

73. Az M és N pontokat rendre az ABC háromszög AB, BC oldalain vettük föl. Bizonyítsd be, hogy ha BNM < ANM, akkor BMN > CMN!
Megoldás

74. Andris bejelölte 1999. évi naptárjába barátainak születésnapját. A következőket vette észre ezzel kapcsolatban: 1. Semelyik két dátum sem egyezett meg teljesen.
2. Nem esett mindegyik ugyanabba a hónapba.
3. Nem esett mindegyik a hétnek ugyanazon napjára.
4. Nem esett mindegyik hónapjának ugyanannyiadik napjára.
5. Bármelyik két születésnap vagy ugyanabban a hónapban volt, vagy a hétnek ugyanazon napjára esett, vagy hónapjának ugyanannyiadik napja volt.

Legfeljebb hány barátja lehet Andrisnak?
Megoldás

75. Ha a kockát kiterítjük, 6 egybevágó négyzetet kapunk. össze lehet-e állítani 5 egybevágó téglalapból egy kiterített paralelepipedont?
Megoldás