136. Hány néggyel osztható tagja van az alábbi sorozatnak?

12 + 34, 56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516, ...

Megoldás

137. Az ABC derékszögű háromszögben meghúztuk a hegyesszögek AP, BQ szögfelezőit, majd az ACP, BCQ háromszögek C-ből induló CM, CN súlyvonalait. Bizonyítsd be, hogy a CMP, CNQ szögek összege megegyezik az MPQ, NCM és PQN szögek összegével!
Megoldás

138. Kirabolták a tudománynépszerűsítő folyóirat, a Kvant szerkesztőségét. A tettesek elvittek egy nagy köteget a lap legfrissebb számából, amivel több, mint két és fél millió dollár kárt okoztak a kiadónak. Később ugyan sikerült elfogni a banditákat, de addigra már a szám egyheted részét eladták. A megmaradt példányokat a rendőrség visszajuttatta a kiadónak. A kárt helyrehozandó, 60 centtel drágábban adták a megszokottnál a lapot, de ez még mindég nem fedezte a veszteséget. Szerencsére, egy lelkes feladatmegoldóból bankárrá lett olvasó támogatásképp 1 dollárral drágábban vette meg a folyóiratot, így a hiány bőven kárpótolva lett. Mennyibe került a lap eredetileg, a kényszerű áremelés előtt?
Megoldás

139. Bizonyítsd be, hogy, ha

(x + y + z)( xy + yz + zx) = xyz,

akkor

(x + y)^.(y + z)^.(z + x) = 0!

Megoldás

140. Egy berendezés 49 gombból áll, mindegyiknek két lehetséges állapota van: vagy világít, vagy nem. A gombok 7 sorban és 7 oszlopban helyezkednek el. Egy gomb megnyomásakor ez a gomb, és vízszintes, függőleges ás átlós szomszédai egyszerre váltanak: az addig világítóak kialszanak, a kikapcsoltak meggyulladnak. Bizonyítsd be, hogy el lehet oltani az összes gombot, akárhány és akármelyik világított is eredetileg közülük!
Megoldás

141. Van egy készlet dominónk. E dominókra a 0, 1, 2, ... n számok vannak írva, mindegyik dominóra két szám. Készletünk teljes, azaz a fent említett számokból képzett bármely számpárhoz pontosan egy olyan dominó található, amelyre az a két szám van fölírva. A készletből maximálisan hány dominó rakható ki az asztalra a játék szabályainak megfelelően?
Megoldás

142. Keresd meg az összes olyan természetes számot, amit nem lehet fölírni néhány (legalább két) egymást követő egész szám összegeként!
Megoldás

143. Bizonyítsd be, hogy ha egy tizenkilenszög minden belső szöge a 10^o többszöröse, akkor a tizenkilencszögnek van két párhuzamos oldala!
Megoldás

144. Öt bájos leány, Anna, Bella, Cili, Dóri és Enikő jutott be a "Miss Kvant 96” verseny döntőjébe. Az egyik újságíró megkérdezte Enikőt: Ki az idősebb, te, vagy Bella? Enikő így válaszolt: Ha öregebb vagyok Annánál, akkor Bellánál is öregebb vagyok, viszont fiatalabb vagyok, mint Cili. Ha azonban nem vagyok idősebb Bellánál, akkor fiatalabb vagyok, mint Dóri. Ha korban Dóri megelőz és Annánál öregebb vagyok, akkor nem vagyok Cilinél fiatalabb. Ha Dóri idősebb nálam és nem vagyok fiatalabb Bellánál, akkor öregebb vagyok, mint Anna. Mi a helyes válasz a felettébb udvariatlan újságírói kérdésre?
Megoldás

145. Nyolc különböző méretű könyv áll egymás mellett egy polcon. E nyolc könyvvel a következő eljárást végezzük el: vesszük a balról számítva két első könyvet, összehasonlítjuk a nagyságukat, és a nagyobbat a balról harmadik, a kisebbet az utolsó helyre tesszük be. Ezután újból kiemeljük a balról számítva két első könyvet és azokkal hajtjuk végre az előzőleg már leírt eljárást. Így haladunk tovább, a leírt eljárást ismételgetve. a) Ki lehet-e mindig találni, a fenti folyamat, lépésenkénti eredményének ismeretében, hogy melyik a legnagyobb könyv? b) Van-e a könyveknek olyan kezdeti elrendezése, hogy az abból induló folyamat eredményeinek ismeretében megállapítható a könyvek nagyságrendi sorrendje?
Megoldás

146. Bizonyítsd be, hogy n 2 esetén, azok között a számok között, amelyek n db egyesből és 1 db hetesből állnak van legalább egy összetett szám!
Megoldás

147.

Egy négyzetet az oldalaival párhuzamos vágásokkal téglalapokra osztottunk. Ezeket a téglalapokat sakktáblaszerűen feketére és fe-hérre színeztük (14. ábra). Kiderült, hogy a fekete téglalapok összterülete megegyezik a fehér téglalapokéval. Bizonyítsd be, hogy a fekete téglalapok át-rendezhetők úgy, hogy együtt egy téglalapot alkossanak!
Megoldás

148. Induljunk ki egy A₀ természetes számból, és szorozzuk össze számjegyeinek összegével! Jelöljük az így kapott számot A₁-gyel! A₁ és számjegyei összegének szorzata legyen A₂, és így tovább. Keresd meg az összes olyan természetes számot, amelyből kiindulva valamelyik A_k szám, és így az összes utána következő is, 1 lesz!
Megoldás

149. Adottak a síkon az ABC, ACO szabályos háromszögek. Tekintsük azt az O középpontú kört, amely áthalad az A, C pontokon! Bizonyítsd be, hogy e kör bármely M pontjára MA² + MC² = MB²!
Megoldás

150. Egy négyzetet felosztottunk 19x19 kisebb négyzetre, és a kis négyzetek közül 95-öt besatíroztunk. Bizonyítsd be, hogy van olyan 3x5-ös téglalap alakú rész, amelyben legfeljebb 3 kis négyzet van besatírozva! Mutasd meg, hogy 96 ügyesen választott négyzet satírozásával elérhető, hogy minden 3x5-ös téglalapban legalább 4 satírozott négyzet legyen!
Megoldás

151.

Pithagorasz táblázata (a szorzótábla) úgy van kitöltve, hogy a bal fölső sarkától számított n-edik sor és m-edik oszlop találkozásában található mezőben az nm szorzat értéke áll. Tekintsük az azonos átlóban álló számok összegeit! (A 15. ábrán láthatók az 1., 2., 3., 4., 5., átlóban kapott összegek) Bizonyítsd be, hogy az 1996. átlóban álló számok összege 1996-ra végződik!
Megoldás

152. Egy a oldalú négyzet egyik csúcsából indulva állandó sebességgel halad a négyzet kerületén az A pont. Ugyanakkor, és ugyanabból a csúcsból ugyanabban az irányban elindulva, de négyszer akkora állandó sebességgel mozog a B pont. Legyen M a mozgó AB szakasz mozgó felezőpontja. Mekkora utat jár be az M pont addig, amíg A visszaér abba a csúcsba, amelyikből indult?
Megoldás

153. Egy egész számból a következő módon képezhetünk egy újabb számot: kiválasztjuk tízes számrendszerbeli alakjának egyik jegyét és azt kivonjuk a számból vagy pedig hozzáadjuk. Eljuthatunk-e ennek a képzési szabálynak az ismételt alkalmazásával 1970-től 97-ig?
Megoldás

154. A sakktábla melyik 4x4-es négyzetét vágjuk ki, ha azt akarjuk, hogy a megmaradó részt lefedhessük 1x3-as dominókkal?
Megoldás

155. Adott egy szabályos háromszög, amelyben elhelyezhető 5 egymást nem metsző egységsugarú kör. Bizonyítsd be, hogy ebben a szabályos háromszögben 6 egymást nem metsző egységsugarú kör is elfér!
Megoldás